Qual o volume do prisma triangular (A B C D), onde A(-36,-12,-60), B(12,36,0), C(5,0,4) e D(0,5,4) ?
14820

Passo 1

O enunciado pede o volume do prisma triangular cujos vértices são
A(-36,-12,-60),\quad B(12,36,0),\quad C(5,0,4),\quad D(0,5,4).
O conteúdo aqui é o produto escalar misto (ou produto misto) de três vetores, pois o volume de um prisma com base triangular e arestas definidas por três vetores \vec u,\vec v,\vec w partindo de um mesmo vértice é
V = \bigl|\det(\vec u,\vec v,\vec w)\bigr| =\bigl|(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w\bigr|.

Passo 2

Escolhemos A como vértice de referência e definimos os vetores a partir de A:
\vec{AB}=B-A,\quad \vec{AC}=C-A,\quad \vec{AD}=D-A.
O volume do prisma é
V=\bigl|\det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\bigr| =\bigl|(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD}\bigr|.

Passo 3

Calculemos os vetores:
\vec{AB}=(12-(-36),\,36-(-12),\,0-(-60))=(48,48,60),
\vec{AC}=(5-(-36),\,0-(-12),\,4-(-60))=(41,12,64),
\vec{AD}=(0-(-36),\,5-(-12),\,4-(-60))=(36,17,64).

Passo 4

Primeiro o produto vetorial
\vec{AB}\times\vec{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 48&48&60\\\\ 41&12&64 \end{vmatrix} =(48\cdot64-60\cdot12)\,\mathbf{i} -(48\cdot64-60\cdot41)\,\mathbf{j} +(48\cdot12-48\cdot41)\,\mathbf{k} =(-320,\,-320,\;265).

Passo 5

Agora o produto escalar com \vec{AD}:
(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD} =(-320)\cdot36+(-320)\cdot17+265\cdot64=-14820.

Passo 6

O volume é o valor absoluto desse resultado:
V=\bigl|{-14820}\bigr|=14820.

Resposta

14820

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