Qual o volume do prisma triangular (A B C D), onde A(-36,-12,-60), B(12,36,0), C(5,0,4) e D(0,5,4) ?
3705

Passo 1

O enunciado pede o volume de um prisma triangular de base ABC e aresta lateral AD. Para esse tipo de prisma podemos usar a fórmula vetorial
V \;=\;\frac{\bigl|\,(AB\times AC)\cdot AD\,\bigr|}{4},
onde AB, AC e AD são vetores que partem de A.

Passo 2

Calcular os vetores a partir dos pontos:
AB = B - A = (12 - (-36),\,36 - (-12),\,0 - (-60)) = (48,\,48,\,60),
AC = C - A = (5 - (-36),\,0 - (-12),\,4 - (-60)) = (41,\,12,\,64),
AD = D - A = (0 - (-36),\,5 - (-12),\,4 - (-60)) = (36,\,17,\,64).

Passo 3

Calcular o produto vetorial AB\times AC:
AB\times AC = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 48 & 48 & 60 \\\\ 41 & 12 & 64 \end{vmatrix} = (2352,\,-612,\,-1392).

Passo 4

Calcular o produto escalar (AB\times AC)\cdot AD:
(2352,\,-612,\,-1392)\cdot(36,\,17,\,64) =2352\cdot36 + (-612)\cdot17 + (-1392)\cdot64 =-14820.

Passo 5

Aplicar a fórmula do volume:
V = \frac{\bigl|\,(AB\times AC)\cdot AD\,\bigr|}{4} = \frac{14820}{4} =3705.

Resposta

3705

Exercícios relacionados