3- Qual o volume do sólido delimitado acima pelo plano
e abaixo pelo retângulo
(a) 1
(b) 3
(c) 5
(d) 7
(e) NRA
(a) 1
(b) 3
(c) 5
(d) 7
(e) NRA
Passo 1
O enunciado dá a superfície e a região base e pede o volume do sólido entre elas:
- A superfície (plano) é
. - A região no plano
é o retângulo .
O que o enunciado pede: calcular o volume do sólido que fica acima de
e abaixo do plano
.
Passo 2
Ideia geral e por que usar integral dupla.
- O volume sob uma superfície
sobre uma região no plano é dado pela integral dupla
Aqui
é a altura do sólido em cada ponto
. Explicando com calma: dividir
em muitos retângulos pequenos de área
; em cada um a altura é aproximadamente
, então o volume aproximado é
; somando e passando ao limite obtém-se a integral dupla que dá o volume exato.
Passo 3
Verificar sinais e escolher ordem de integração.
- Primeiro garantir que
é não negativa em (para confirmar que representa uma altura positiva):
portanto
em
. Tudo certo.
- Como
é um retângulo com limites constantes, é conveniente usar integração iterada com limites fixos. Vou integrar primeiro em e depois em . Assim a integral fica
Passo 4
Calcular a integral interna (integração em
).
- Precisamos calcular
- Para integrar em
, trate como constante. Uma antiderivada em é
- Avaliando de
até :
- Calcule passo a passo:
portanto a integral interna vale
Passo 5
Calcular a integral externa (integração em
).
- Agora integramos o resultado em
de 0 a 1:
- Uma antiderivada é
. Avaliando de a :
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida.
- Obtivemos
. - Checagem intuitiva curta: a área de
é . A altura média da função linear sobre um retângulo é igual à média das alturas nos vértices; calcular as alturas nos quatro vértices dá cuja média é . Multiplicando pela área obtemos , consistente com o cálculo integral.
Resposta
(c)