3- Qual o volume do sólido delimitado acima pelo plano z=4-x-y e abaixo pelo retângulo R=[0,1] x[0,2] ?
(a) 1
(b) 3
(c) 5
(d) 7
(e) NRA

Passo 1

O enunciado dá a superfície e a região base e pede o volume do sólido entre elas:
  • A superfície (plano) é z=4-x-y.
  • A região no plano xy é o retângulo R=\[0,1\]\times\[0,2\].
O que o enunciado pede: calcular o volume do sólido que fica acima de R e abaixo do plano z=4-x-y.

Passo 2

Ideia geral e por que usar integral dupla.
  • O volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região R no plano xy é dado pela integral dupla
\text{Volume}=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=4-x-y é a altura do sólido em cada ponto (x,y)\in R. Explicando com calma: dividir R em muitos retângulos pequenos de área \Delta A; em cada um a altura é aproximadamente f(x,y), então o volume aproximado é f(x,y)\Delta A; somando e passando ao limite obtém-se a integral dupla que dá o volume exato.

Passo 3

Verificar sinais e escolher ordem de integração.
  • Primeiro garantir que f(x,y) é não negativa em R (para confirmar que representa uma altura positiva):
\min_{(x,y)\in R}(4-x-y)=4-1-2=1,
portanto f(x,y)\ge 1>0 em R. Tudo certo.
  • Como R é um retângulo com limites constantes, é conveniente usar integração iterada com limites fixos. Vou integrar primeiro em y e depois em x. Assim a integral fica
\text{Volume}=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2} (4-x-y)\,dy\,dx.

Passo 4

Calcular a integral interna (integração em y).
  • Precisamos calcular
\int_{y=0}^{2} (4-x-y)\,dy.
  • Para integrar em y, trate x como constante. Uma antiderivada em y é
\bigl(4-x\bigr)y-\frac{y^{2}}{2}.
  • Avaliando de y=0 até y=2:
\left[\bigl(4-x\bigr)y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \bigl(4-x\bigr)\cdot 2 - \frac{2^{2}}{2}.
  • Calcule passo a passo:
\bigl(4-x\bigr)\cdot 2 = 8-2x, \qquad \frac{2^{2}}{2}=2,
portanto a integral interna vale
8-2x-2=6-2x.

Passo 5

Calcular a integral externa (integração em x).
  • Agora integramos o resultado em x de 0 a 1:
\text{Volume}=\int_{x=0}^{1} (6-2x)\,dx.
  • Uma antiderivada é 6x - x^{2}. Avaliando de 0 a 1:
\bigl[6x - x^{2}\bigr]_{0}^{1} = (6\cdot 1 - 1^{2}) - 0 = 6-1=5.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida.
  • Obtivemos \text{Volume}=5.
  • Checagem intuitiva curta: a área de R é 1\cdot 2=2. A altura média da função linear 4-x-y sobre um retângulo é igual à média das alturas nos vértices; calcular as alturas nos quatro vértices dá 4,\,3,\,2,\,1 cuja média é \tfrac{4+3+2+1}{4}=2{,}5. Multiplicando pela área 2 obtemos 2\cdot 2{,}5=5, consistente com o cálculo integral.

Resposta

(c) 5

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