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Seja f: R R uma função bijetora ímpar. Mostre que a função inversa f^-1 também é uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma função f:RtoR é bijetora e ímpar (isto é, satisfaz f(-x)=-f(x) para todo x), então sua inversa f^-1 também é ímpar.

Passo 2

Como f é bijetora, para todo yinR existe um único xinR tal que f(x)=y. Definimos x=f^-1(y). Pela imparidade de f, temos f(-x)=-f(x). Como f(x)=y, segue que f(-x)=-y.

Passo 3

Aplicando f^-1 na igualdade f(-x)=-y, obtemos -x=f^-1(-y). Substituindo x=f^-1(y) na relação anterior, conclui-se que f^-1(-y)=-f^-1(y).

Resposta

A função inversa f^-1 é ímpar, pois para todo yinR vale f^-1(-y)=-f^-1(y).

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