O volume, v, de uma superficie de revolução de uma curva f(x) <= g(x), a <= x <= b, em torno do eixo y=c é dada por v=pi integrala^b[g(x)-f(x)]^2 d x. Obtenha o volume da(o):
esfera de raio R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o volume de uma esfera usando a fórmula do volume de uma superfície de revolução. A matéria que estamos trabalhando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de integração para encontrar volumes gerados pela rotação de curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula fornecida e como aplicá-la a uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na esfera. Uma esfera de raio R pode ser formada ao girar um semicírculo em torno de um eixo. Vamos considerar o eixo de rotação sendo o eixo y . Para isso, precisamos definir as funções f(x) e g(x) que delimitam a região que será girada.

Passo 3

Vamos desenhar um semicírculo com raio R centrado na origem. A equação desse semicírculo é:
y = raizR^2 - x^2
Aqui, g(x) = raizR^2 - x^2 e f(x) = 0 (já que estamos considerando a região entre a curva e o eixo y ). Os limites de integração vão de x = -R a x = R , pois o diâmetro do semicírculo nesse caso é de -R a R .

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do volume fornecida:
v = pi integrala^b [g(x) - f(x)]^2 , dx
Substituindo f(x) = 0 , g(x) = raizR^2 - x^2 , a = -R e b = R , a fórmula fica:
v = pi integral-R^R ( raizR^2 - x^2 )^2 , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
( raizR^2 - x^2 )^2 = R^2 - x^2
Então, a integral fica:
v = pi integral-R^R (R^2 - x^2) , dx
Agora, vamos calcular essa integral:
integral (R^2 - x^2) , dx = R^2 x - x^33
Vamos avaliar de -R a R :
v = pi [ ( R^2 (R) - R^33 ) - ( R^2 (-R) - (-R)^33 ) ]
Simplificando:
v = pi [ R^3 - R^33 + R^3 - R^33 ]
v = pi [ 2R^3 - 2R^33 ]
v = pi ( 6R^3 - 2R^33 )
v = pi ( 4R^33 )
v = 43 pi R^3

Resposta

O volume da esfera de raio R é:
v = 43 pi R^3

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