O volume,
, de uma superficie de revolução de uma curva
, em torno do eixo
é dada por
. Obtenha o volume da(o):
esfera de raio
esfera de raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o volume de uma esfera usando a fórmula do volume de uma superfície de revolução. A matéria que estamos trabalhando aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de integração para encontrar volumes gerados pela rotação de curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula fornecida e como aplicá-la a uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na esfera. Uma esfera de raio
pode ser formada ao girar um semicírculo em torno de um eixo. Vamos considerar o eixo de rotação sendo o eixo
. Para isso, precisamos definir as funções
e
que delimitam a região que será girada.
Passo 3
Vamos desenhar um semicírculo com raio
centrado na origem. A equação desse semicírculo é:
Aqui,
e
(já que estamos considerando a região entre a curva e o eixo
). Os limites de integração vão de
a
, pois o diâmetro do semicírculo nesse caso é de
a
.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do volume fornecida:
Substituindo
,
,
e
, a fórmula fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular essa integral:
Vamos avaliar de
a
:
Simplificando:
Resposta
O volume da esfera de raio
é: