1. Vapor a 100^{\circ} \mathrm{C} é acrescentado a gelo a 0^{\circ} \mathrm{C}. (a) Encontre a quantidade de gelo derretido e a temperatura final quando a massa de vapor é 10,0 \mathrm{~g} e a massa de gelo é 50,0 \mathrm{~g}. (b) \mathbf{E} se? Repita para quando a massa de vapor for 1,00 \mathrm{~g} e a massa de gelo 50,0 \mathrm{~g}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (vou usar os valores exatamente como foram fornecidos).
Dados (pegos do enunciado):
  • Massa de vapor em (a): m_v=10,0\\ \mathrm{g}.
  • Massa de vapor em (b): m_v=1,00\\ \mathrm{g}.
  • Massa de gelo (em ambos os casos): M_i=50,0\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial do vapor: 100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial do gelo: 0^\circ\mathrm{C}.
Constantes físicas que vamos usar (valores típicos a 1\\ \mathrm{atm}):
  • Calor latente de vaporização da água: L_v=2256\\ \mathrm{J/g}.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f=334\\ \mathrm{J/g}.
  • Calor específico da água líquida: c=4,18\\ \mathrm{J/(g\;^\circ C)}.
O enunciado pede, para cada caso:
  • a quantidade de gelo que derrete (em gramas);
  • a temperatura final de equilíbrio.

Passo 2

Princípio físico e estratégia (energia térmica):
  • Vou usar conservação de energia (assumo sistema isolado, sem perdas para o ambiente): o calor liberado pelo vapor ao se condensar e ao se resfriar será absorvido pelo gelo para fundir e para aquecer a água resultante.
  • Regras úteis:
    • Para condensação do vapor em água a 100^\circ\mathrm{C}: calor liberado Q_{\text{cond}}=m_v\,L_v.
    • Para resfriar a água condensada de 100^\circ\mathrm{C} até T_f: Q_{\text{resf,v}}=m_v\,c\,(100-T_f).
    • Para fundir uma massa x de gelo a 0^\circ\mathrm{C}: Q_{\text{fus}}=x\,L_f.
    • Para aquecer água a partir de 0^\circ\mathrm{C} até T_f: Q_{\text{aq}}=m\,c\,T_f (onde m é a massa dessa água).
  • Caso geral: comparar calor disponível (do vapor) com calor necessário para fundir todo o gelo. Se disponível ≥ necessário então todo o gelo derrete e determina-se T_f>0. Se disponível < necessário então T_f=0^\circ\mathrm{C} e apenas parte do gelo derrete; calculamos essa massa fundida.

Passo 3

Caso (a): m_v=10,0\\ \mathrm{g}, M_i=50,0\\ \mathrm{g}.
Calor total que o vapor pode fornecer se for levado até 0^\circ\mathrm{C} (condensação + resfriamento até 0^\circ\mathrm{C}):
Q_{\text{disp}} = m_v\,L_v + m_v\,c\,(100-0).
Substituindo valores:
Q_{\text{disp}} = 10,0\cdot2256 + 10,0\cdot4,18\cdot100.
Calcule passo a passo:
10,0\cdot2256 = 22560\\ \mathrm{J}, \qquad 10,0\cdot4,18\cdot100 = 4180\\ \mathrm{J},
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Q_{\text{disp}} = 22560 + 4180 = 26740\\ \mathrm{J}.
Calor necessário para fundir todo o gelo (levar 50,0\\ \mathrm{g} de gelo \,0^\circ\mathrm{C}\, a água \,0^\circ\mathrm{C}\,):
Q_{\text{fus,tot}} = M_i\,L_f = 50,0\cdot334 = 16700\\ \mathrm{J}.
Comparação:
Q_{\text{disp}} = 26740\\ \mathrm{J} > Q_{\text{fus,tot}} = 16700\\ \mathrm{J},
portanto todo o gelo derrete. Resta calor disponível para elevar a temperatura da água total.

Passo 4

Calcular a temperatura final T_f no caso (a) usando balanço de energia depois que tudo ficou em água líquida:
  • Massa total de água após a condensação e fusão: M_{\text{tot}} = M_i + m_v = 50,0 + 10,0 = 60,0\\ \mathrm{g}.
  • Energia liberada pelo vapor: condensação mais resfriamento de 100^\circ\mathrm{C} até T_f:
Q_{\text{lib}} = m_v\,L_v + m_v\,c\,(100-T_f).
  • Energia absorvida pelo gelo para fundir e depois aquecer a água resultante até T_f:
Q_{\text{abs}} = M_i\,L_f + M_i\,c\,T_f.
Igualando Q_{\text{lib}} = Q_{\text{abs}}:
m_v\,L_v + m_v\,c\,(100-T_f) = M_i\,L_f + M_i\,c\,T_f.
Substituo valores numéricos:
10,0\cdot2256 + 10,0\cdot4,18\,(100-T_f) = 50,0\cdot334 + 50,0\cdot4,18\,T_f.
Faço as multiplicações:
22560 + 4180 - 10,0\cdot4,18\,T_f = 16700 + 209\,T_f.
Observe que 10,0\cdot4,18=41,8 e 50,0\cdot4,18=209. Reorganizando:
26740 - 41,8\,T_f = 16700 + 209\,T_f.
Isolando T_f:
26740 - 16700 = 209\,T_f + 41,8\,T_f,
10040 = 250,8\,T_f,
T_f = \frac{10040}{250,8}.

Passo 5

Calculo numérico de T_f no caso (a):
T_f \approx 40,0^\circ\mathrm{C}.
(mais precisamente T_f\approx40,03^\circ\mathrm{C}, arredondado para três algarismos significativos: 40,0^\circ\mathrm{C}). E como vimos todo o gelo foi derretido, a massa de gelo derretido é 50,0\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Caso (b): m_v=1,00\\ \mathrm{g}, M_i=50,0\\ \mathrm{g}.
Calor disponível se o vapor condensa e esfria até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{disp}} = m_v\,L_v + m_v\,c\,(100-0) = 1,00\cdot2256 + 1,00\cdot4,18\cdot100.
Calcule:
Q_{\text{disp}} = 2256 + 418 = 2674\\ \mathrm{J}.
Calor necessário para fundir todo o gelo (mesmo que antes):
Q_{\text{fus,tot}} = 50,0\cdot334 = 16700\\ \mathrm{J}.
Comparação:
Q_{\text{disp}} = 2674\\ \mathrm{J} < Q_{\text{fus,tot}} = 16700\\ \mathrm{J},
logo não há calor suficiente para fundir todo o gelo. Conclusão imediata: a temperatura final será T_f=0^\circ\mathrm{C} e apenas uma fração do gelo derrete.

Passo 7

Calcular a massa x de gelo que derrete no caso (b).
Balanço de energia (toda a energia liberada pelo vapor é usada para fundir x gramas de gelo):
m_v\,L_v + m_v\,c\,(100-0) = x\,L_f.
Substituindo números:
2674 = x\cdot334.
Logo
x = \frac{2674}{334}\\ \mathrm{g}.
Faço a divisão:
x \approx 8,01\\ \mathrm{g}.
Assim, no caso (b) aproximadamente 8,01\\ \mathrm{g} de gelo derretem e a temperatura final é 0^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) Gelo derretido: 50,0\\ \mathrm{g}. Temperatura final: 40,0^\circ\mathrm{C}.
(b) Gelo derretido: 8,01\\ \mathrm{g}. Temperatura final: 0^\circ\mathrm{C}.

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