(Vr. 1,5 ponto) Resolva a equação (x cos x) y^prime+(cos x+x sen x)) y=2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação (x,cos x),y' + (cos x + x,sin x),y = 2x. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a ODE na forma padrão y' + p(x)y = g(x). Para isso dividimos tudo por xcos x, supondo cos xneq0:
y' + l(cos xxcos x + x,sin xxcos xr)y = 2xxcos x
Simplificando cada termo, obtemos
y' + l(1x + tan xr)y = 2sec x

Passo 3

Em ODEs lineares, o fator integrante é mu(x)=e^integral p(x),dx. Aqui
integral p(x),dx = integral l(1x + tan xr)dx = ln|x| - ln|cos x| + C0
Podemos tomar C0=0, então
mu(x)=xcos x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x) para tornar o lado esquerdo a derivada de mu y:
xcos x,y' + xcos xl(1x+tan xr)y = 2sec xcdotxcos x
Isso é
l(tfracxcos xyr)' = 2xsec^2 x
Agora integramos ambos os lados. No lado direito, usemos integração por partes com u=2x, dv=sec^2 x,dx:
integral 2xsec^2 x,dx = 2xtan x - integral 2tan x,dx = 2xtan x + 2ln|cos x| + C

Passo 5

Logo temos
xcos xy = 2xtan x + 2ln|cos x| + C
Isolando y, obtemos
y = cos xx l(2xtan x + 2ln|cos x| + Cr)

Resposta

A solução geral é
y(x) = 2sin x + 2cos x,ln|cos x|x + C,cos xx, C constante

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