(Vunesp-2005) Instituído pela Organização das Nações Unidas, 2005 é o Ano Mundial da Física, em que se comemora o centenário dos trabalhos revolucionários publicados por Albert Einstein, o mais importante cientista do século XX (segundo a revista norte-americana Time). Na teoria da relatividade especial de Einstein, objetos que se movem com velocidade v em relação a um referencial inercial têm o tempo dilatado por um fator gamma, para um observador em repouso nesse referencial. A tabela mostra valores de gamma para diversos módulos da velocidade v , representados em múliplos da velocidade da luz, c (ou 3 cdot 10^8 m / s ).
|l|l| hline$v$ & $gamma$ hline $0,000 c$ & 1,000 hline $0,100 c$ & 1,005 hline $0,200 c$ & 1,021 hline $0,400 c$ & 1,091 hline $0,600 c$ & 1,250 hline $0,800 c$ & 1,667 hline $0,900 c$ & 2,294 hline $0,998 c$ & 15,82 hline $0,999 c$ & 22,37 hline$c$ & $infty$ hline m / s
0,5 % 1,000
0,600 c 1,005
1,021
1,091
1,250
1,667
2,294
15,82
22,37
Segundo este modelo, pede-se:
a) qual a velocidade, em , que deve ser atingida pelo objeto para que a dilatação do tempo seja de apenas ? Comente como este resultado explica por que as pessoas não percebem os efeitos da dilatação do tempo no seu diaa-dia.
b) Se para o objeto passaram-se 10 minutos, quantos minutos se passaram para um observador no referencial inercial que vê o objeto se movimentando à velocidade de ?

Passo 1

O enunciado trata da dilatação do tempo na relatividade especial de Einstein, pede que a gente encontre (a) a velocidade necessária para que a dilatação seja de apenas 0,5% e (b) quanto tempo dilatado um observador vê quando o objeto anda a 0,6
c. Vamos usar a fórmula do fator de Lorentz,

Passo 2

A teoria diz que o fator de dilatação
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
é a razão entre o tempo medido pelo observador em repouso e o tempo próprio do objeto. Para achar a velocidade que dá uma dilatação de 0,5%, basta pôr
gamma = 1 + 0.005 = 1.005
e resolver para v. Isolando v, temos
v = craiz1 - 1gamma^2
Substituindo gamma = 1.005 e c = 3 times 10^8,m/s:
v = 3 times 10^8 times raiz1 - 1(1.005)^2 approx 3 times 10^7,m/s
Isso é cerca de 0,1
c, ou 30 milhões de metros por segundo. Como nenhum objeto do dia a dia alcança velocidades desse porte, a dilatação de 0,5% é praticamente imperceptível no cotidiano.

Passo 3

Para a parte (b), a tabela já dá gamma = 1,250 quando v = 0,6,c. Se o tempo próprio do objeto é 10 minutos, o tempo dilatado é
t = gamma times t0 = 1,250 times 10 min = 12,5 min

Resposta

(a) v approx 3 times 10^7,m/s (0,1 c), o que explica por que a dilatação no cotidiano é desprezível. (b) 12,5 minutos.

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