Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As rrês contas apresentaram ligações para telefones fixos e móveis (celulares) e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos.
A tabela informa o tempo (em minutos) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.
Fixo Móvel
Internacional
(Buenos Aires)
Valor
Paula 10 min 6 min 2 min 12,20
Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40
André 8 min 5 min 5 min 14,70
Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires, respectivamente.
Desta forma,
  • A conta de Paula é dada por: 10 \mathrm{x}+6 \mathrm{y}+2 \mathrm{z}=12,20
  • A conta de Júlia é dada por: 14 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}=13,40
  • A conta de André é dada por: 8 x+5 y+5 z=14,70
As três equações acima constituem um exemplo de aplicação de sistema linear.

Passo 1

O enunciado nos dá as durações (em minutos) e os valores das contas, e pede o preço por minuto de três tipos de ligação: telefones fixos, telefones móveis e ligações internacionais para Buenos Aires. As informações relevantes são as três equações que o enunciado já formulou (valores já com o desconto da assinatura):
10x + 6y + 2z = 12,20
14x + 4y + 3z = 13,40
8x + 5y + 5z = 14,70
O que queremos encontrar é o valor de x, de y e de z: os preços por minuto (em reais) para fixo, móvel e Buenos Aires, respectivamente. Não vamos resolver nada aqui ainda — só listei o que é dado e o que é pedido.

Passo 2

Primeiro passo prático: eliminar as casas decimais para trabalhar com inteiros e evitar frações estranhas na conta. Para isso multiplico cada equação por 10 (pois os valores monetários têm duas casas decimais, multiplicar por 10 deixa as constantes inteiras neste caso):
Multiplicando por 10 obtemos o sistema equivalente
100x + 60y + 20z = 122
140x + 40y + 30z = 134
80x + 50y + 50z = 147
Observação rápida: eu apenas multipliquei cada termo de cada equação por 10, inclusive o lado direito. Isso não muda a solução do sistema, só simplifica a aritmética.

Passo 3

Vou usar o método da eliminação (também chamado método de combinação linear). Ideia básica do método: combinar as equações (somando ou subtraindo multiplicadas por fatores) para anular uma das variáveis e reduzir o sistema para menos incógnitas. Explico a lógica: se eu conseguir eliminar z combinando duas equações, terei duas equações em apenas x e y, que é bem mais fácil de resolver.
Vou eliminar z entre a primeira e a segunda equação. Para isso faço um múltiplo que iguale os coeficientes de z: o coeficiente de z em (I) é 20 e em (II) é 30. Um múltiplo comum é 60. Multiplico (I) por 3 e (II) por 2:
3\times (I):
300x + 180y + 60z = 366
2\times (II):
280x + 80y + 60z = 268
Agora subtraio a segunda destas da primeira para anular z:
(300x+180y+60z) - (280x+80y+60z) = 366 - 268
Isso dá:
20x + 100y = 98
Guarde essa equação auxiliar (vou chamá-la de (A)):
\text{(A)}\quad 20x + 100y = 98

Passo 4

Agora elimino z entre a segunda e a terceira equação. Para igualar coeficientes de z uso o múltiplo comum 150: multiplico (II) por 5 e (III) por 3.
5\times (II):
700x + 200y + 150z = 670
3\times (III):
240x + 150y + 150z = 441
Subtraindo a segunda destas da primeira:
(700x+200y+150z) - (240x+150y+150z) = 670 - 441
Isso dá:
460x + 50y = 229
Guarde essa equação auxiliar (chamo de (B)):
\text{(B)}\quad 460x + 50y = 229

Passo 5

Agora tenho um sistema de duas equações em duas incógnitas, x e y:
\text{(A)}\quad 20x + 100y = 98
\text{(B)}\quad 460x + 50y = 229
Para simplificar (A) posso dividi-la por 2:
\text{(A')}\quad 10x + 50y = 49
Ficamos então com (A’) e (B). Vou eliminar y somando uma versão adequada das equações. Uma maneira prática: multiplico (A’) por -1 e somo com (B), porque (A’) tem +50y e (B) tem +50y também; então (B) + (-1)\times(A') elimina y.
Multiplicando (A’) por -1:
-10x - 50y = -49
Somando com (B):
(460x + 50y) + (-10x - 50y) = 229 + (-49)
Resultado:
450x = 180

Passo 6

Agora isolo x:
x = \frac{180}{450}
Faço a simplificação da fração: divido numerador e denominador por 90 (ou por 10 depois simplificar):
\frac{180}{450} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5} = 0,4
Lembre-se de que usamos a vírgula para decimais no enunciado, então x = 0,4. Em reais por minuto, isso é R$ 0,40 por minuto.

Passo 7

Com x encontrado volto para (A’) para achar y. A equação (A’) é:
10x + 50y = 49
Substituo x = 0,4:
10\cdot 0,4 + 50y = 49
Calculo 10\cdot 0,4 = 4, então
4 + 50y = 49
Isolando y:
50y = 49 - 4 = 45
y = \frac{45}{50} = 0,9
Ou seja, y = 0,9 (R$ 0,90 por minuto).

Passo 8

Para terminar, encontro z substituindo x e y em uma das equações originais. Vou usar a primeira equação multiplicada por 10 que tínhamos:
100x + 60y + 20z = 122
Substituo x = 0,4 e y = 0,9:
100\cdot 0,4 + 60\cdot 0,9 + 20z = 122
Calculo cada termo: 100\cdot 0,4 = 40 e 60\cdot 0,9 = 54. Então
40 + 54 + 20z = 122
94 + 20z = 122
20z = 122 - 94 = 28
z = \frac{28}{20} = 1,4
Logo z = 1,4 (R$ 1,40 por minuto para Buenos Aires).

Passo 9

Verificação rápida (sempre bom checar): substituindo (x,y,z)=(0,4;\;0,9;\;1,4) nas outras equações multiplicadas por 10:
Segunda: 140\cdot0,4 + 40\cdot0,9 + 30\cdot1,4 = 56 + 36 + 42 = 134 — confere com 134.
Terceira: 80\cdot0,4 + 50\cdot0,9 + 50\cdot1,4 = 32 + 45 + 70 = 147 — confere com 147.
Tudo certo: os valores satisfazem as três equações.

Resposta

x = 0,40
y = 0,90
z = 1,40

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