Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As rrês contas apresentaram ligações para telefones fixos e móveis (celulares) e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos.
A tabela informa o tempo (em minutos) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.
Fixo
Móvel
Internacional
(Buenos Aires)
Valor
Paula
10 min
6 min
2 min
12,20
Júlia
14 min
4 min
3 min
13,40
André
8 min
5 min
5 min
14,70
Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires, respectivamente.
Desta forma,
- A conta de Paula é dada por:
- A conta de Júlia é dada por:
- A conta de André é dada por:
As três equações acima constituem um exemplo de aplicação de sistema linear.
A tabela informa o tempo (em minutos) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.
| Fixo | Móvel |
|
Valor | |||
| Paula | 10 min | 6 min | 2 min | 12,20 | ||
| Júlia | 14 min | 4 min | 3 min | 13,40 | ||
| André | 8 min | 5 min | 5 min | 14,70 |
Passo 1
O enunciado nos dá as durações (em minutos) e os valores das contas, e pede o preço por minuto de três tipos de ligação: telefones fixos, telefones móveis e ligações internacionais para Buenos Aires. As informações relevantes são as três equações que o enunciado já formulou (valores já com o desconto da assinatura):
O que queremos encontrar é o valor de
, de
e de
: os preços por minuto (em reais) para fixo, móvel e Buenos Aires, respectivamente. Não vamos resolver nada aqui ainda — só listei o que é dado e o que é pedido.
Passo 2
Primeiro passo prático: eliminar as casas decimais para trabalhar com inteiros e evitar frações estranhas na conta. Para isso multiplico cada equação por
(pois os valores monetários têm duas casas decimais, multiplicar por
deixa as constantes inteiras neste caso):
Multiplicando por
obtemos o sistema equivalente
Observação rápida: eu apenas multipliquei cada termo de cada equação por
, inclusive o lado direito. Isso não muda a solução do sistema, só simplifica a aritmética.
Passo 3
Vou usar o método da eliminação (também chamado método de combinação linear). Ideia básica do método: combinar as equações (somando ou subtraindo multiplicadas por fatores) para anular uma das variáveis e reduzir o sistema para menos incógnitas. Explico a lógica: se eu conseguir eliminar
combinando duas equações, terei duas equações em apenas
e
, que é bem mais fácil de resolver.
Vou eliminar
entre a primeira e a segunda equação. Para isso faço um múltiplo que iguale os coeficientes de
: o coeficiente de
em (I) é
e em (II) é
. Um múltiplo comum é
. Multiplico (I) por
e (II) por
:
Agora subtraio a segunda destas da primeira para anular
:
Isso dá:
Guarde essa equação auxiliar (vou chamá-la de (A)):
Passo 4
Agora elimino
entre a segunda e a terceira equação. Para igualar coeficientes de
uso o múltiplo comum
: multiplico (II) por
e (III) por
.
Subtraindo a segunda destas da primeira:
Isso dá:
Guarde essa equação auxiliar (chamo de (B)):
Passo 5
Agora tenho um sistema de duas equações em duas incógnitas,
e
:
Para simplificar (A) posso dividi-la por
:
Ficamos então com (A’) e (B). Vou eliminar
somando uma versão adequada das equações. Uma maneira prática: multiplico (A’) por
e somo com (B), porque (A’) tem
e (B) tem
também; então
elimina
.
Multiplicando (A’) por
:
Somando com (B):
Resultado:
Passo 6
Agora isolo
:
Faço a simplificação da fração: divido numerador e denominador por
(ou por
depois simplificar):
Lembre-se de que usamos a vírgula para decimais no enunciado, então
. Em reais por minuto, isso é R$
por minuto.
Passo 7
Com
encontrado volto para (A’) para achar
. A equação (A’) é:
Substituo
:
Calculo
, então
Isolando
:
Ou seja,
(R$
por minuto).
Passo 8
Para terminar, encontro
substituindo
e
em uma das equações originais. Vou usar a primeira equação multiplicada por
que tínhamos:
Substituo
e
:
Calculo cada termo:
e
. Então
Logo
(R$
por minuto para Buenos Aires).
Passo 9
Verificação rápida (sempre bom checar): substituindo
nas outras equações multiplicadas por
:
Segunda:
— confere com
.
Terceira:
— confere com
.
Tudo certo: os valores satisfazem as três equações.