(PUC) Alfeu, Bento e Cintia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos, gastando nessa compra os totais de \mathrm{R} \ 134,00, \mathrm{R} $115,00 e\mathrm{R} $ 48,00$, respectivamente.
Sejam as matrizes:
A=\left[\begin{array}{lll}0 & 3 & 4 \\\\ 1 & 0 & 5 \\\\ 2 & 1 & 0\end{array}\right] e X=\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] tais que:
  • os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas compradas por Alfeu ( 1^{\mathrm{a}} linha), Bento ( 2^{\mathrm{a}} linha) e Cíntia ( 3^{\mathrm{a}} linha);
  • os elementos de cada coluna de A Correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa;
  • os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa.
Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é:

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 3 & 4 \\[4pt] 1 & 0 & 5 \\[4pt] 2 & 1 & 0\end{pmatrix}
e o vetor de preços desconhecidos
X=\begin{pmatrix}x\\[3pt] y\\[3pt] z\end{pmatrix}.
As informações relevantes são:
  • a 1ª linha de A são as quantidades compradas por Alfeu;
  • a 2ª linha de A são as quantidades compradas por Bento;
  • a 3ª linha de A são as quantidades compradas por Cíntia;
  • os totais gastos, respectivamente por Alfeu, Bento e Cíntia, são \mathrm{R}\$\,134{,}00, \mathrm{R}\$\,115{,}00 e \mathrm{R}\$\,48{,}00.
    O que o problema pede: o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa, isto é, calcular x+y+z.]

Passo 2

Traduzimos as informações em um sistema matricial. Cada linha de A multiplicada pelo vetor X dá o gasto da pessoa correspondente, então
A X = b,
onde
b=\begin{pmatrix}134\\[3pt]115\\[3pt]48\end{pmatrix}.
Isso é um sistema linear equivalente a três equações obtidas pelos produtos escalares (ou dot products) das linhas de A com X.]

Passo 3

Nossa meta é calcular
S=x+y+z.
Se definirmos o vetor coluna de uns
e=\begin{pmatrix}1\\[3pt]1\\[3pt]1\end{pmatrix},
então S=e^{T}X (produto escalar entre e e X). A ideia prática: não precisamos encontrar x,y,z isoladamente; basta encontrar um vetor linha v^{T} tal que v^{T}A=e^{T}. A razão é:
se v^{T}A=e^{T} e AX=b, então multiplicando à esquerda por v^{T} obtemos
v^{T}AX=v^{T}b \quad\Rightarrow\quad e^{T}X=v^{T}b,
ou seja, S=v^{T}b. Isso evita resolver todo o sistema completo.]

Passo 4

Para determinar v resolvemos a equação matricial
v^{T}A=e^{T}.
Transpondo ambos os lados obtemos (mais conveniente para resolver)
A^{T}v=e.
Calculemos A^{T}:
A^{T}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\[3pt] 3 & 0 & 1 \\[3pt] 4 & 5 & 0\end{pmatrix}.
Então precisamos resolver o sistema linear
A^{T}v=e\quad\text{com}\quad v=\begin{pmatrix}v_{1}\\[3pt]v_{2}\\[3pt]v_{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevendo as equações de A^{T}v=e\) por componentes: \[\begin{cases} 0\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}+2\cdot v_{3}=1,\\[4pt] 3\cdot v_{1}+0\cdot v_{2}+1\cdot v_{3}=1,\\[4pt] 4\cdot v_{1}+5\cdot v_{2}+0\cdot v_{3}=1. \end{cases}
Isso é
\begin{cases} v_{2}+2v_{3}=1,\\[4pt] 3v_{1}+v_{3}=1,\\[4pt] 4v_{1}+5v_{2}=1. \end{cases}
Da segunda equação isolamos v_{3}\]: \[v_{3}=1-3v_{1}.\] Substituímos na primeira: \[v_{2}+2(1-3v_{1})=1 \quad\Rightarrow\quad v_{2}+2-6v_{1}=1 \quad\Rightarrow\quad v_{2}=-1+6v_{1}.\] Agora substituímos \(v_{2} na terceira:
4v_{1}+5(-1+6v_{1})=1 \quad\Rightarrow\quad 4v_{1}-5+30v_{1}=1.
Somando os termos em v_{1}:
34v_{1}-5=1 \quad\Rightarrow\quad 34v_{1}=6 \quad\Rightarrow\quad v_{1}=\frac{6}{34}=\frac{3}{17}.
Então
v_{3}=1-3v_{1}=1-3\cdot\frac{3}{17}=1-\frac{9}{17}=\frac{8}{17},
e
v_{2}=-1+6v_{1}=-1+6\cdot\frac{3}{17}=-1+\frac{18}{17}=\frac{1}{17}.
Portanto
v=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{17}\\[6pt]\dfrac{1}{17}\\[6pt]\dfrac{8}{17}\end{pmatrix},
e por construção temos v^{T}A=e^{T}.]

Passo 6

Agora computamos S=e^{T}X=v^{T}b. Calculemos v^{T}b:
v^{T}b=\frac{3}{17}\cdot 134+\frac{1}{17}\cdot 115+\frac{8}{17}\cdot 48.
Fazendo as multiplicações:
\frac{3\cdot134}{17}+\frac{115}{17}+\frac{8\cdot48}{17}=\frac{402}{17}+\frac{115}{17}+\frac{384}{17}.
Somando os numeradores:
\frac{402+115+384}{17}=\frac{901}{17}.
E \dfrac{901}{17}=53 (porque 17\cdot53=901). Logo
S=x+y+z=53.

Passo 7

Interpretação final: o total a pagar por comprar uma unidade de cada tipo de camisa é \mathrm{R}\$\,53{,}00.

Resposta

\mathrm{R}\$\,53{,}00

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