(PUC) Alfeu, Bento e Cintia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos, gastando nessa compra os totais de \mathrm{R} \ 134,00, \mathrm{R} $115,00e\mathrm{R} $ 48,00$, respectivamente.
Sejam as matrizes: A=\left[\begin{array}{lll}0 & 3 & 4 \\\\ 1 & 0 & 5 \\\\ 2 & 1 & 0\end{array}\right] e X=\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] tais que:
os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas compradas por Alfeu ( 1^{\mathrm{a}} linha), Bento ( 2^{\mathrm{a}} linha) e Cíntia ( 3^{\mathrm{a}} linha);
os elementos de cada coluna de A Correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa;
os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa.
Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é:
a 1ª linha de A são as quantidades compradas por Alfeu;
a 2ª linha de A são as quantidades compradas por Bento;
a 3ª linha de A são as quantidades compradas por Cíntia;
os totais gastos, respectivamente por Alfeu, Bento e Cíntia, são \mathrm{R}\$\,134{,}00, \mathrm{R}\$\,115{,}00 e \mathrm{R}\$\,48{,}00.
O que o problema pede: o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa, isto é, calcular x+y+z.]
Passo 2
Traduzimos as informações em um sistema matricial. Cada linha de A multiplicada pelo vetor X dá o gasto da pessoa correspondente, então
Isso é um sistema linear equivalente a três equações obtidas pelos produtos escalares (ou dot products) das linhas de A com X.]
Passo 3
Nossa meta é calcular
S=x+y+z.
Se definirmos o vetor coluna de uns
e=\begin{pmatrix}1\\[3pt]1\\[3pt]1\end{pmatrix},
então S=e^{T}X (produto escalar entre e e X). A ideia prática: não precisamos encontrar x,y,z isoladamente; basta encontrar um vetor linha v^{T} tal que v^{T}A=e^{T}. A razão é:
se v^{T}A=e^{T} e AX=b, então multiplicando à esquerda por v^{T} obtemos
Da segunda equação isolamos v_{3}\]:
\[v_{3}=1-3v_{1}.\]
Substituímos na primeira:
\[v_{2}+2(1-3v_{1})=1 \quad\Rightarrow\quad v_{2}+2-6v_{1}=1 \quad\Rightarrow\quad v_{2}=-1+6v_{1}.\]
Agora substituímos \(v_{2} na terceira: