A taxa de inscrição num clube de natação é de R \ 150,00$ para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o inicio do curso, a taxa é reduzida linearmente. Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas desde o início do curso.

Passo 1

O enunciado pede que eu expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas desde o início do curso. Informações dadas:
  • A taxa completa do curso de 12 semanas é R\$150{,}00.
  • Se uma pessoa se inscrever após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente com o número de semanas transcorridas.
  • Quero uma função que dê a taxa em função do número de semanas transcorridas desde o começo do curso.

Passo 2

Defino variáveis para ficar claro:
  • Seja t o número de semanas transcorridas desde o início do curso (ou seja, t=0 no começo).
  • Seja T(t) a taxa de inscrição (em reais) a ser paga por alguém que se inscreve após t semanas.
Agora um pouco de teoria fácil e prática: uma redução linear significa que T(t) é uma função afim (ou linear no sentido geral) do tipo
T(t)=m t + b,
onde m é a inclinação (quanto a taxa muda por semana) e b é o valor inicial (a taxa quando t=0). Vou usar essa forma porque é a maneira padrão de representar uma relação que varia linearmente.

Passo 3

Usamos as condições do problema para encontrar m e b.
Condição 1: no início do curso ( t=0) a taxa é a taxa completa:
T(0)=b=150.
Condição 2: como a redução é linear ao longo das 12 semanas, no final do curso ( t=12) deve restar zero a ser pago (não faz sentido pagar após o curso acabar), ou seja
T(12)=m\cdot 12 + b = 0.
Substituindo b=150 nessa equação:
12m + 150 = 0.
Agora resolvo para m:
12m = -150 \quad\Rightarrow\quad m = -\frac{150}{12} = -\frac{25}{2}.
Explicação didática: o coeficiente m negativo significa que a cada semana que passa a taxa diminui em \frac{25}{2} reais; em número decimal isso é -12{,}5 reais por semana.

Passo 4

Agora escrevo a função completa substituindo m e b:
T(t)= -\frac{25}{2}\,t + 150.
Posso reescrever de formas equivalentes que ficam mais intuitivas:
T(t)=150\left(1-\frac{t}{12}\right)
ou, em forma decimal,
T(t)=150 - 12{,}5\,t.
Também é importante indicar o domínio (onde a função faz sentido): faz sentido usar essa fórmula para 0\le t\le 12. Para t<0 não faz sentido (antes do começo) e para t>12 o curso já acabou — normalmente a taxa seria 0 ou a inscrição não seria aceita.

Passo 5

Exemplo prático para você poder usar na prova: se alguém se inscreve após t=3 semanas, aplico a fórmula:
T(3)=150 - 12{,}5\cdot 3 = 150 - 37{,}5 = 112{,}50.
Ou seja, pagaria R\$112{,}50. Isso mostra como usar a função rapidamente: basta substituir t e calcular.

Passo 6

Dica de prova e incentivo: quando vir problemas de redução proporcional/linear, identifique os dois pontos extremos (aqui: (0,150) e (12,0)) e use a forma afim T(t)=mt+b. Esse procedimento é rápido e seguro. Você já tem a resposta — vai dar certo!

Resposta

T(t)=150\left(1-\frac{t}{12}\right),\quad 0\le t\le 12

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