(Vunesp-SP) Suponhamos que, para uma dada eleição, uma cidade tivesse 18.500 eleitores inscritos. Suponhamos ainda que, para essa eleição, no caso de se verificar um índice de abstenções de
entre os homens e de
entre as mulheres, o número de votantes do sexo masculino será exatamente igual ao de votantes do sexo feminino. Determine o número de eleitores inscritos de cada sexo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
- Número total de eleitores inscritos:
. - Índice de abstenção entre os homens:
. - Índice de abstenção entre as mulheres:
. - Informação adicional: se esses índices se verificarem, o número de votantes do sexo masculino será exatamente igual ao número de votantes do sexo feminino.
O que o enunciado pede:
- Determinar quantos eleitores inscritos são do sexo masculino e quantos são do sexo feminino (dois números inteiros que somam
).
Passo 2
Vamos definir variáveis para traduzir o enunciado para equações (isso ajuda a organizar o raciocínio):
- Seja
o número de eleitores do sexo masculino inscritos. - Seja
o número de eleitores do sexo feminino inscritos.
Essas variáveis devem satisfazer imediatamente a condição de total:
Explicando com calma:
mais
é o total de inscritos; por isso escrevemos essa equação.
Passo 3
Agora traduzimos a informação sobre abstenções em uma equação. Se a abstenção entre homens é
, então a fração de homens que vota é
. Em forma numérica, a quantidade de homens que vota é
vezes
: isto é
.
De modo análogo, se a abstenção entre mulheres é
, a fração que vota é
, e o número de mulheres que vota é
.
O enunciado diz que esses dois números são iguais, logo:
Para evitar decimais podemos multiplicar ambos os lados por
(ou pensar em porcentagens diretamente) e escrever:
Isso simplifica manipular os números sem perder precisão.
Passo 4
Agora resolvemos o sistema formado por
Do lado direito da segunda equação isolamos
em função de
. Dividindo ambos os lados por
obtemos:
Explicando: isolar uma variável significa escrevê-la sozinha em um membro da equação; aqui dividimos por
para isso. A razão
é uma fração irreduzível (94 e 91 não têm divisor comum além de
).]
Passo 5
Substituímos essa expressão de
na equação do total
. Assim:
Colocando
em evidência:
Somamos os termos dentro do parêntese usando denominador comum
:
Portanto a equação fica
Passo 6
Isolamos
dividindo ambos os lados por
, o que equivale a multiplicar por
:
Agora simplificamos:
porque
. Logo
Explicando a simplificação: em provas é sempre bom procurar cancelar fatores óbvios antes de multiplicar grandes números — aqui o cancelamento deixou um cálculo muito simples.
Passo 7
Com
calculamos
pelo total
:
Verificação rápida (sempre faça isso na prova): número de votantes homens
. Número de votantes mulheres
. Batem certinho, como exigido pelo enunciado.
Resposta
Masculino:
Feminino:
Feminino: