onde s é a variável complexa da transformada. Essa integral só faz sentido (converge) para valores de s que tornam a integral própria — normalmente exigimos \operatorname{Re}(s)>0 para funções de crescimento polinomial, como aqui. Vou aplicar essa definição diretamente ao f(t) dado.
Passo 3
Como f(t) é dada por partes, quebre a integral em duas partes onde a definição muda:
Essa é uma forma muito simples e elegante. A região de convergência é \operatorname{Re}(s)>0.
Passo 7
Verificação alternativa (útil na prova): representar f usando a função degrau \,u(t-1). Uma forma conveniente é
f(t)=t - (t-1)\,u(t-1).
Explicando: para t<1 tem-se u(t-1)=0 e f(t)=t; para t\ge1 tem-se u(t-1)=1 e f(t)=t-(t-1)=1. Pela propriedade de deslocamento da transformada de Laplace, para \operatorname{Re}(s)>0,