W=ln (x+y^2+z^3) partial^2 Wpartial y partial x, partial^2 Wpartial z partial y, partial^2 Wpartial x partial z

Passo 1

O enunciado dá a função
W(x,y,z)=lnl(x+y^2+z^3r)
e pede as derivadas parciais segundas mistas
partial^2Wpartial y partial x,
partial^2Wpartial z partial y e
partial^2Wpartial x partial z.
O conteúdo aqui é diferenciação de funções compostas e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Calcular primeiro Wx=partial Wpartial x.
Como W=ln D com D=x+y^2+z^3,
Wx=1Dcdotpartial Dpartial x =1x+y^2+z^3
Agora derivamos isso em relação a y para obter
Wxy=partialpartial y(Wx).
Aplicando a regra da cadeia:
Wxy =partialpartial yl((x+y^2+z^3)^-1r) =-1,(x+y^2+z^3)^-2cdotpartialpartial y(x+y^2+z^3) =-2y(x+y^2+z^3)^2

Passo 3

Calcular primeiro Wy=partial Wpartial y.
Wy =1Dcdotpartial Dpartial y =2yx+y^2+z^3
Agora derivamos isso em relação a z para obter
Wyz=partialpartial z(Wy).
Pela regra da cadeia:
Wyz =partialpartial zl(2y,(x+y^2+z^3)^-1r) =2ycdot(-1),(x+y^2+z^3)^-2cdotpartialpartial z(x+y^2+z^3) =-2ycdot3z^2(x+y^2+z^3)^2 =-6y,z^2(x+y^2+z^3)^2

Passo 4

Calcular primeiro Wz=partial Wpartial z.
Wz =1Dcdotpartial Dpartial z =3z^2x+y^2+z^3
Agora derivamos isso em relação a x para obter
Wzx=partialpartial x(Wz).
Pela regra da cadeia:
Wzx =partialpartial xl(3z^2,(x+y^2+z^3)^-1r) =3z^2cdot(-1),(x+y^2+z^3)^-2cdotpartialpartial x(x+y^2+z^3) =-3z^2(x+y^2+z^3)^2

Resposta

partial^2Wpartial ypartial x =-2yl(x+y^2+z^3r)^2, partial^2Wpartial zpartial y =-6y,z^2l(x+y^2+z^3r)^2, partial^2Wpartial xpartial z =-3z^2l(x+y^2+z^3r)^2

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