Um webdesigner cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição
r=(4,0+2,5 t^2) i+(1,0+2,5 t) j
para o tempo em segundos e a posição em centímetros.
Determine o módulo da velocidade do ponto para os instantes t=0 e t=5,0 s.

Passo 1

Beleza, olha só o enunciado: um webdesigner fez uma animação e o ponto tem posição
vec r(t) = l(4,0 + 2,5,t^2r),hat i ;+;l(1,0 + 2,5,tr),hat j
(com em segundos e posição em cm). A missão é achar o módulo da velocidade desse ponto em e em s.
Conteúdo: derivada de vetor posição pra achar velocidade e depois usar o teorema de Pitágoras pra tirar o módulo.

Passo 2

Primeiro, lembra que velocidade vec v(t) = dvec rdt é a derivada temporal de :
A gente vai derivar componente a componente: a parte em e a parte em .

Passo 3

Derivando:
  • Para o componente vx(t) = ddt(4,0 + 2,5,t^2) = 2,5 cdot 2t = 5,0,t : vy(t) = ddt(1,0 + 2,5,t) = 2,5 . vec v(t) = l(5,0,tr),hat i ;+; l(2,5r),hat j
  • Para o componente : .
Então a velocidade é

Passo 4

Agora, pra achar o módulo lvert vec v(t)rvert = raiz,l(vx(t)r)^2 + l(vy(t)r)^2, a gente usa Pitágoras:
lvert vec v(t)rvert = raiz(5,0,t)^2 + (2,5)^2 = raiz25,t^2 + 6,25
Substituindo e :

Passo 5

Vamos pros dois instantes:
  1. Em lvert vec v(0)rvert = raiz25cdot 0^2 + 6,25 = raiz6,25 = 2,5 cm/s :
lvert vec v(5)rvert = raiz25cdot (5)^2 + 6,25 = raiz25cdot25 + 6,25 = raiz625 + 6,25 = raiz631,25 approx 25,12 cm/s
  1. Em s:

Resposta

  • Em :
  • Em s:

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