Um webdesigner cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição
r=(4,0+2,5 t^2) i+(1,0+2,5 t) j
para o tempo em segundos e a posição em centímetros.
(a) Determine o módulo da velocidade do ponto para os instantes t=0 e t=5,0 s. (b) Calcule o módulo da velocidade média no intervalo entre t=0 e t=2,0 s. [Dica: vm=De (r2-r1) /(t2-t1) ] © Descreva em notação de versores o vetor aceleração do ponto na tela.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e que ferramentas vamos usar. Temos um ponto cuja posição depende do tempo:
vec r(t) = l(4,0 + 2,5,t^2r),hat i ;+;l(1,0 + 2,5,tr),hat j
O assunto é cinemática vetorial: para resolver a gente vai precisar
1) derivar componentes pra achar velocidade e aceleração;
2) usar a fórmula do módulo de um vetor l|,(Vx,Vy)r|=raizVx^2+Vy^2;
3) calcular a velocidade média como De.

Passo 2

Primeiro diacho a velocidade instantânea usando derivada de cada componente:
vec v(t)=dvec rdt =ddtl(4+2,5,t^2r),hat i;+;ddtl(1+2,5,tr),hat j =(5,t),hat i ;+;2,5,hat j
Aqui apliquei a regra básica ddt(a,t^n)=a,n,t^n-1.

Passo 3

Agora o módulo de vec v(t) é
|vec v(t)|=raiz(5t)^2+(2,5)^2=raiz25,t^2+6,25,
Vamos avaliar em t=0 e t=5,rm s:
- Em t=0:
|vec v(0)|=raiz0+6,25=2,5 cm/s
  • Em t=5,rm s: |vec v(5)|=raiz25cdot5^2+6,25 =raiz625+6,25 =raiz631,25approx25,12 cm/s

Passo 4

Pra achar a velocidade média entre t1=0 e t2=2,rm s usamos
$$\vec v_m=\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}
=\frac{\vec r(2)-\vec r(0)}{2-0},. vec vm=Deçõ\Delta\vec r=(14-4,6-1)=(10,5),\quad \Delta t=2, $$
$$\vec v_m=\Bigl(\tfrac{10}{2},\tfrac{5}{2}\Bigr)=(5,,2{,}5),\quad\Rightarrow\quad
|\vec v_m|=\sqrt{52+2{,}52}=\sqrt{25+6{,}25}=\sqrt{31{,}25}\approx5{,}59\ cm/s.$$

Passo 5

Por fim, a aceleração é a derivada da velocidade:
vec a(t)=dvec vdt =ddtl(5t,hat i+2,5,hat jr) =5,hat i +0,hat j =5,hat il[cm/s^2r]

Resposta

(a) |vec v(0)|=2,5 cm/s e |vec v(5)|approx25,12 cm/s.
(b) |vec vm|=raiz31,25approx5,59 cm/s.
© vec a=5,hat i cm/s^2,.

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