Dois vetores são dados por \mathbf{a}=8 \hat{\mathrm{i}}-6 \hat{\mathrm{~J}}+2 \mathrm{k} e \mathbf{b}=-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{J}}+4 \mathrm{k}. Encontre (a) \mathbf{a}+\mathbf{b}, (b) \mathbf{a}-\mathbf{b} e (c) ache o módulo de 2 \mathbf{a}- b.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\mathbf{a}=8\hat{\mathbf{i}}-6\hat{\mathbf{j}}+2\hat{\mathbf{k}}
e
\mathbf{b}=-\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+4\hat{\mathbf{k}}.
Perguntas pedidas:
(a) calcular \mathbf{a}+\mathbf{b},
(b) calcular \mathbf{a}-\mathbf{b},
(c) achar o módulo de 2\mathbf{a}-\mathbf{b}.
Todas as informações relevantes estão acima: os componentes de \mathbf{a} são (8,-6,2) e os de \mathbf{b} são (-1,1,4), escritos na base \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}.

Passo 2

Vamos calcular \mathbf{a}+\mathbf{b}. Regra (mini-aula): a soma de vetores é feita componente a componente. Se \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_x+v_x,\;u_y+v_y,\;u_z+v_z).
Aqui u_x,u_y,u_z são as componentes de \mathbf{u} e v_x,v_y,v_z as de \mathbf{v}.
Aplicando a regra a \mathbf{a} e \mathbf{b}:
\begin{aligned} \text{componente } \hat{\mathbf{i}}:&\; 8 + (-1)=7,\\\ \text{componente } \hat{\mathbf{j}}:&\; -6 + 1 = -5,\\\ \text{componente } \hat{\mathbf{k}}:&\; 2 + 4 = 6. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{a}+\mathbf{b}=7\hat{\mathbf{i}}-5\hat{\mathbf{j}}+6\hat{\mathbf{k}}.

Passo 3

Agora \mathbf{a}-\mathbf{b}. Regra (mini-aula): a subtração também é componente a componente. Para \mathbf{u}-\mathbf{v} temos
\mathbf{u}-\mathbf{v}=(u_x-v_x,\;u_y-v_y,\;u_z-v_z).
Aplicando:
\begin{aligned} \text{componente } \hat{\mathbf{i}}:&\; 8 - (-1)=8+1=9,\\\ \text{componente } \hat{\mathbf{j}}:&\; -6 - 1 = -7,\\\ \text{componente } \hat{\mathbf{k}}:&\; 2 - 4 = -2. \end{aligned}
Logo
\mathbf{a}-\mathbf{b}=9\hat{\mathbf{i}}-7\hat{\mathbf{j}}-2\hat{\mathbf{k}}.

Passo 4

Precisamos do vetor 2\mathbf{a}-\mathbf{b}. Primeiro calcule 2\mathbf{a}. Regra (mini-aula): multiplicação por escalar c funciona em cada componente: c\mathbf{v}=(c v_x,c v_y,c v_z).
Aplicando c=2 a \mathbf{a}=(8,-6,2):
2\mathbf{a}=(2\cdot 8,\;2\cdot(-6),\;2\cdot 2)=(16,-12,4),
ou em notação de base:
2\mathbf{a}=16\hat{\mathbf{i}}-12\hat{\mathbf{j}}+4\hat{\mathbf{k}}.

Passo 5

Agora subtrair \mathbf{b} de 2\mathbf{a}. Usamos componente a componente novamente:
\begin{aligned} \text{componente } \hat{\mathbf{i}}:&\; 16 - (-1)=16+1=17,\\\ \text{componente } \hat{\mathbf{j}}:&\; -12 - 1 = -13,\\\ \text{componente } \hat{\mathbf{k}}:&\; 4 - 4 = 0. \end{aligned}
Portanto
2\mathbf{a}-\mathbf{b}=17\hat{\mathbf{i}}-13\hat{\mathbf{j}}+0\hat{\mathbf{k}}=17\hat{\mathbf{i}}-13\hat{\mathbf{j}}.

Passo 6

Agora o módulo de 2\mathbf{a}-\mathbf{b}. Regra (mini-aula): para \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), o módulo (norma euclidiana) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Aqui \mathbf{v}=2\mathbf{a}-\mathbf{b}=(17,-13,0). Calculamos:
\|\;2\mathbf{a}-\mathbf{b}\;\|=\sqrt{17^{2}+(-13)^{2}+0^{2}}=\sqrt{289+169+0}=\sqrt{458}.
Podemos deixar em forma exata \sqrt{458}. (Se quiser uma ideia numérica, \sqrt{458}\approx 21{,}40, mas a forma exata geralmente é preferida.)

Resposta

(a) \;7\hat{\mathbf{i}}-5\hat{\mathbf{j}}+6\hat{\mathbf{k}}
(b) \;9\hat{\mathbf{i}}-7\hat{\mathbf{j}}-2\hat{\mathbf{k}}
(c) \;\sqrt{458}

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