A flywheel (diameter \mathrm{d}=60 \mathrm{~cm} ) is uniformly accelerated from a standstill such that at time t_{1}=20 \mathrm{~s} it has reached a rotation rate of \mathrm{n}=1000 \mathrm{rpm} ( \mathrm{rpm}= revolutions per minute).
a) What is the magnitude of the angular acceleration \dot{\omega} of the flywheel?
b) How many revolutions N has the flywheel made at time t_{1} ?
c) What are the velocity and acceleration of a point on the perimeter at time t_{2}=1 s ?

Passo 1

O enunciado dá uma roda (flywheel) com diâmetro d=60\\ \mathrm{cm} que parte do repouso e é acelerada uniformemente. Nos são fornecidos os tempos e a rotação final: em t_{1}=20\\ \mathrm{s} a rotação é n=1000\\ \mathrm{rpm}. Perguntas:
  • (a) Qual é a magnitude da aceleração angular \dot{\omega} (ou seja, \alpha) da roda?
  • (b) Quantas revoluções N a roda fez até t_{1}?
  • (c) No instante t_{2}=1\\ \mathrm{s}, qual a velocidade e a aceleração de um ponto na periferia?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Diâmetro: d=60\\ \mathrm{cm} ⇒ raio r=\dfrac{d}{2}=30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}.
  • Tempo final para parte (a) e (b): t_{1}=20\\ \mathrm{s}.
  • Rotação em t_{1}: n=1000\\ \mathrm{rpm} (revoluções por minuto).
  • Instante pedido em (c): t_{2}=1\\ \mathrm{s}.
  • Parte do repouso, portanto velocidade angular inicial \omega_{0}=0.

Passo 2

Primeiro convertemos a rotação n (em rpm) para velocidade angular \omega (em rad/s). A relação é:
\omega = 2\pi \cdot \frac{n}{60},
onde n está em revoluções por minuto; a constante 2\pi converte revoluções para radianos e o fator 1/60 converte minutos para segundos.
Aplicando ao caso:
\omega(t_{1}) = 2\pi \cdot \frac{1000}{60} = \frac{100\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico aproximado:
\omega(t_{1}) \approx 104,720\\ \mathrm{rad/s}.
(Usei a fórmula e substituí n=1000.)

Passo 3

Como a aceleração é uniforme (constante), a aceleração angular \dot{\omega}=\alpha é dada por
\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\omega(t_{1})-\omega_{0}}{t_{1}}.
Aqui \omega_{0}=0, logo
\alpha = \frac{\omega(t_{1})}{t_{1}} = \frac{\frac{100\pi}{3}}{20} = \frac{100\pi}{60} = \frac{5\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Valor numérico aproximado:
\alpha \approx 5,236\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Explicação curta: \alpha mede quanto a velocidade angular muda por segundo; partindo do repouso, basta dividir a velocidade angular alcançada pelo tempo gasto.

Passo 4

Para contar o número de revoluções até t_{1} usamos a cinemática rotacional. O deslocamento angular \theta (em radianos) sob aceleração angular constante, partindo de \omega_{0}=0, é
\theta = \omega_{0}t_{1} + \tfrac{1}{2}\alpha t_{1}^{2} = \tfrac{1}{2}\alpha t_{1}^{2}.
Substituindo \alpha=\dfrac{5\pi}{3} e t_{1}=20\\ \mathrm{s}:
\theta = \tfrac{1}{2}\cdot \frac{5\pi}{3}\cdot 20^{2} = \frac{5\pi}{6}\cdot 400 = \frac{1000\pi}{3}\\ \text{rad}.
O número de revoluções N é \theta dividido por 2\pi:
N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{\frac{1000\pi}{3}}{2\pi} = \frac{1000}{6} = \frac{500}{3}.
Valor numérico:
N \approx 166,667\\ \text{revoluções}.çõ
Observação: dá para fazer uma checagem rápida usando velocidade angular média \omega_{\text{med}}=\tfrac{1}{2}\omega(t_{1}) e \theta=\omega_{\text{med}}t_{1}; chega-se ao mesmo resultado.

Passo 5

Agora trataremos do instante t_{2}=1\\ \mathrm{s}. Primeiro a velocidade angular em t_{2}:
\omega(t_{2}) = \omega_{0} + \alpha t_{2} = 0 + \alpha\cdot 1 = \alpha = \frac{5\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico:
\omega(1) \approx 5,236\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Velocidade linear (tangencial) de um ponto na periferia: relação entre velocidade linear v e velocidade angular \omega é
v = \omega \, r,
onde r é o raio da roda. Substituindo:
v(1) = \omega(1)\, r = \frac{5\pi}{3}\cdot 0,30 = 0,5\pi\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico:
v(1) \approx 1,571\\ \mathrm{m/s}.
Explicação: cada ponto na periferia descreve um movimento circular; a velocidade tangencial é a velocidade angular multiplicada pelo raio.

Passo 7

A aceleração de um ponto na periferia tem duas componentes quando o corpo gira com aceleração angular:
  • componente tangencial (que altera o módulo da velocidade): a_{t}=\alpha\,r.
  • componente radial/centrípeta (que aponta para o centro e mantém a curvatura): a_{r}=\omega^{2}r.
Calculamos ambas em t_{2}=1\\ \mathrm{s}.
Tangencial:
a_{t} = \alpha\, r = \frac{5\pi}{3}\cdot 0,30 = 0,5\pi\\ \mathrm{m/s^{2}} \approx 1,571\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Radial (centrípeta):
a_{r} = \omega(1)^{2}\, r = \left(\frac{5\pi}{3}\right)^{2}\cdot 0,30 = \frac{25\pi^{2}}{9}\cdot 0,30 = \frac{25\pi^{2}}{30}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Valor numérico:
a_{r} \approx 8,225\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A aceleração total é a soma vetorial (componentes ortogonais), logo a magnitude é
a = \sqrt{a_{r}^{2}+a_{t}^{2}} \approx \sqrt{(8,225)^{2} + (1,571)^{2}} \approx 8,372\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Direção: em relação à direção radial (inward), o vetor aceleração forma um ângulo \varphi tal que
\tan\varphi = \frac{a_{t}}{a_{r}} \quad\Rightarrow\quad \varphi = \arctan\!\left(\frac{a_{t}}{a_{r}}\right) \approx \arctan\!\left(\frac{1,571}{8,225}\right) \approx 10,78^{\circ},
ou seja, o vetor aceleração aponta para dentro (radial) e levemente na direção tangencial (no sentido do aumento da velocidade).

Passo 8

Resumo rápido dos resultados numéricos úteis (já obtidos nos passos anteriores) para conferir rapidamente na prova:
  • raio r=0,30\\ \mathrm{m},
  • \omega(t_{1})=\dfrac{100\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s},
  • \alpha=\dfrac{5\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s^{2}},
  • \theta(t_{1})=\dfrac{1000\pi}{3}\\ \mathrm{rad},
  • N=\dfrac{500}{3} revoluções,
  • em t_{2}=1\\ \mathrm{s}: v=0,5\pi\\ \mathrm{m/s}, a_{t}=0,5\pi\\ \mathrm{m/s^{2}}, a_{r}=\dfrac{25\pi^{2}}{30}\\ \mathrm{m/s^{2}}, a\approx 8,372\\ \mathrm{m/s^{2}}, direção 10,78^\circ a partir da radial para o sentido tangencial.

Resposta

(a) \dot{\omega}=\dfrac{5\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s^{2}}\approx 5,236\\ \mathrm{rad/s^{2}}
(b) N=\dfrac{500}{3}\approx 166,667 revoluções
(c) v(1)=0,5\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 1,571\\ \mathrm{m/s};\quad a_{t}=0,5\pi\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 1,571\\ \mathrm{m/s^{2}},\; a_{r}=\dfrac{25\pi^{2}}{30}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 8,225\\ \mathrm{m/s^{2}},\; a=\sqrt{a_{r}^{2}+a_{t}^{2}}\approx 8,372\\ \mathrm{m/s^{2}} (direção: 10,78^\circ da radial para o sentido tangencial).

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