A flywheel (diameter
) is uniformly accelerated from a standstill such that at time
it has reached a rotation rate of
(
revolutions per minute).
a) What is the magnitude of the angular acceleration
of the flywheel?
b) How many revolutions N has the flywheel made at time
?
c) What are the velocity and acceleration of a point on the perimeter at time
?
a) What is the magnitude of the angular acceleration
b) How many revolutions N has the flywheel made at time
c) What are the velocity and acceleration of a point on the perimeter at time
Passo 1
O enunciado dá uma roda (flywheel) com diâmetro
que parte do repouso e é acelerada uniformemente. Nos são fornecidos os tempos e a rotação final: em
a rotação é
. Perguntas:
- (a) Qual é a magnitude da aceleração angular
(ou seja, ) da roda? - (b) Quantas revoluções
a roda fez até ? - (c) No instante
, qual a velocidade e a aceleração de um ponto na periferia?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Diâmetro:
⇒ raio . - Tempo final para parte (a) e (b):
. - Rotação em
: (revoluções por minuto). - Instante pedido em (c):
. - Parte do repouso, portanto velocidade angular inicial
.
Passo 2
Primeiro convertemos a rotação
(em rpm) para velocidade angular
(em rad/s). A relação é:
onde
está em revoluções por minuto; a constante
converte revoluções para radianos e o fator
converte minutos para segundos.
Aplicando ao caso:
Valor numérico aproximado:
(Usei a fórmula e substituí
.)
Passo 3
Como a aceleração é uniforme (constante), a aceleração angular
é dada por
Aqui
, logo
Valor numérico aproximado:
Explicação curta:
mede quanto a velocidade angular muda por segundo; partindo do repouso, basta dividir a velocidade angular alcançada pelo tempo gasto.
Passo 4
Para contar o número de revoluções até
usamos a cinemática rotacional. O deslocamento angular
(em radianos) sob aceleração angular constante, partindo de
, é
Substituindo
e
:
O número de revoluções
é
dividido por
:
Valor numérico:
Observação: dá para fazer uma checagem rápida usando velocidade angular média
e
; chega-se ao mesmo resultado.
Passo 5
Agora trataremos do instante
. Primeiro a velocidade angular em
:
Valor numérico:
Passo 6
Velocidade linear (tangencial) de um ponto na periferia: relação entre velocidade linear
e velocidade angular
é
onde
é o raio da roda. Substituindo:
Valor numérico:
Explicação: cada ponto na periferia descreve um movimento circular; a velocidade tangencial é a velocidade angular multiplicada pelo raio.
Passo 7
A aceleração de um ponto na periferia tem duas componentes quando o corpo gira com aceleração angular:
- componente tangencial (que altera o módulo da velocidade):
. - componente radial/centrípeta (que aponta para o centro e mantém a curvatura):
.
Calculamos ambas em
.
Tangencial:
Radial (centrípeta):
Valor numérico:
A aceleração total é a soma vetorial (componentes ortogonais), logo a magnitude é
Direção: em relação à direção radial (inward), o vetor aceleração forma um ângulo
tal que
ou seja, o vetor aceleração aponta para dentro (radial) e levemente na direção tangencial (no sentido do aumento da velocidade).
Passo 8
Resumo rápido dos resultados numéricos úteis (já obtidos nos passos anteriores) para conferir rapidamente na prova:
- raio
, -
, -
, -
, -
revoluções, - em
: , , , , direção a partir da radial para o sentido tangencial.
Resposta
(a)
(b) revoluções
(c) (direção:
da radial para o sentido tangencial).
(b)
(c)