Which of the following series is absolute convergent?
(A) sumn=1^infty (-1)^ntan ^-1(n)
(B) sumn=1^infty(-1)^n
© sumn=1^infty (-1)^n nn^2+1
(D) sumn=1^infty (-1)^nn!
(E) None of the above

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual das séries listadas é absolutamente convergente. Isso significa que, se a gente considerar o valor absoluto de cada termo da série e essa nova série ainda assim convergir, então a série original é absolutamente convergente. Para resolver isso, vamos analisar cada opção uma por uma, verificando a convergência das séries com os valores absolutos.

Passo 2

Opção A: sumn=1^infty | (-1)^ntan^-1(n) | = sumn=1^infty 1tan^-1(n)
Primeiro, vamos tirar o valor absoluto:
O arco-tangente ( ) cresce e se aproxima de conforme aumenta. Então, se comporta como uma constante quando é grande. Isso significa que a série é semelhante a , que diverge. Portanto, a série A não é absolutamente convergente.

Passo 3

Opção B: sumn=1^infty |(-1)^n| = sumn=1^infty 1
Vamos tirar o valor absoluto:
Essa é uma série que soma 1 infinitamente, ou seja, ela claramente diverge. Então, a série B também não é absolutamente convergente.

Passo 4

Opção C: sumn=1^infty | (-1)^n nn^2+1 | = sumn=1^infty nn^2+1
Valor absoluto:
nn^2+1 >= n2n^2 = 12n
Para analisar a convergência, podemos comparar com , que sabemos que diverge (série harmônica). Observamos que:
Como diverge, pela comparação, a série também diverge. Logo, a série C não é absolutamente convergente.

Passo 5

Opção D: sumn=1^infty | (-1)^nn! | = sumn=1^infty 1n!
Valor absoluto:
Sabemos que a série é a expansão da série exponencial , que converge para . Portanto, a série D é absolutamente convergente.

Resposta

A alternativa (D) é absolutamente convergente.

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