Within the spherical shell, 3<r<4 \mathrm{~m}, the electric flux density is given as
\mathbf{D}=5(r-3)^{3} \mathbf{a}_{r} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}
a) What is the volume charge density at r=4 ?
b) What is the electric flux density at r=4 ?
c) How much electric flux leaves the sphere r=4 ?
d) How much charge is contained within the sphere, r=4 ?

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor densidade de fluxo elétrico dentro da casca esférica 3<r<4 m como
\mathbf{D}=5\,(r-3)^{3}\,\mathbf{a}_{r}\;\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Pede-se:
a) a densidade volumétrica de carga \rho_{v} em r=4,
b) o valor de \mathbf{D} em r=4,
c) o fluxo elétrico que sai da superfície esférica de raio r=4,
d) a carga total contida no interior dessa esfera.
Usaremos a lei de Gauss em forma diferencial \nabla\!\cdot\!\mathbf{D}=\rho_{v} e a forma integral \oint\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{int}}.

Passo 2

Para achar \rho_{v}=\nabla\!\cdot\!\mathbf{D} em coordenadas esféricas, só há componente radial D_{r}=5(r-3)^{3}. Assim,
\nabla\!\cdot\!\mathbf{D} =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl[r^{2}D_{r}\bigr] =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl[5\,r^{2}(r-3)^{3}\bigr].
Derivando,
\frac{d}{dr}\bigl[r^{2}(r-3)^{3}\bigr] =2r\,(r-3)^{3}+r^{2}\cdot3(r-3)^{2},
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\rho_{v}(r) =\nabla\!\cdot\!\mathbf{D} =\frac{5}{r^{2}}\Bigl[2r(r-3)^{3}+3r^{2}(r-3)^{2}\Bigr] =10\,\frac{(r-3)^{3}}{r}+15\,(r-3)^{2}.

Passo 3

Avaliaremos em r=4. Como r-3=1, temos
\rho_{v}(4) =10\frac{1^{3}}{4}+15\cdot1^{2} =2{,}5+15 =17{,}5\;\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 4

O próprio enunciado dá \mathbf{D}=5(r-3)^{3}\mathbf{a}_{r}. Em r=4:
\mathbf{D}(4) =5\,(4-3)^{3}\,\mathbf{a}_{r} =5\;\mathbf{a}_{r}\;\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 5

O fluxo elétrico através da esfera de raio 4 é
\Phi =\oint_{r=4}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} =D_{r}(4)\,\bigl(4\pi(4)^{2}\bigr) =5\cdot4\pi\cdot16 =320\pi\;\mathrm{C}.

Passo 6

Pela forma integral da lei de Gauss, esse fluxo é igual à carga total dentro da esfera de raio 4:
Q_{\text{int}} =\Phi =320\pi\;\mathrm{C}.

Resposta

a) \rho_{v}(4)=17{,}5\;\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}
b) \mathbf{D}(4)=5\,\mathbf{a}_{r}\;\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}
c) \Phi=320\pi\;\mathrm{C}
d) Q_{\text{int}}=320\pi\;\mathrm{C}

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