Volume charge density is located in free space as \rho_{v}=2 e^{-1000 r} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{3} for 0<r<1 \mathrm{~mm}, and \rho_{v}=0 elsewhere.
a) Find the total charge enclosed by the spherical surface r=1 \mathrm{~mm}
b) By using Gauss’s law, calculate the value of D_{r} on the surface r=1 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado dá uma densidade volumétrica de carga em espaço livre
\rho_{v}(r)=2\,e^{-1000\,r}\,\text{nC/m}^3
válida para 0<r<1\text{ mm}, e nula fora. Pede-se:
  1. O total de carga Q_{\text{enc}} dentro da esfera de raio a=1\text{ mm}.
  2. Usando a lei de Gauss, o valor de D_{r} na superfície r=a.
Para resolver, vamos:
  • Converter \rho_{v} para SI: \rho_{v}(r)=2\,e^{-1000r}\times10^{-9} C/m ^3.
  • Integrar em coordenadas esféricas com volume dV=4\pi r^2dr.
  • Usar \displaystyle \oint D\cdot dA=Q_{\rm enc}.

Passo 2

Cálculo de Q_{\text{enc}}. Temos
Q_{\text{enc}} =\int_{0}^{a}\rho_{v}(r)\,dV =\int_{0}^{a}2\,e^{-1000r}\,10^{-9}\;4\pi r^2\,dr =8\pi\times10^{-9}\int_{0}^{a}r^2e^{-1000r}\,dr.
Usamos o resultado
\int_{0}^{a}r^2e^{-\alpha r}dr =\frac{2}{\alpha^3}-e^{-\alpha a}\Bigl(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{2a}{\alpha^2}+\frac{2}{\alpha^3}\Bigr),
com \alpha=1000 m ^{-1} e a=1\text{ mm}=10^{-3} m. Então
\int_{0}^{a}r^2e^{-1000r}dr =\frac{2}{1000^3}-e^{-1}\Bigl(\frac{(10^{-3})^2}{1000}+\frac{2\cdot10^{-3}}{1000^2}+\frac{2}{1000^3}\Bigr) \approx1{,}61\times10^{-10}.
Logo
Q_{\text{enc}} =8\pi\times10^{-9}\times1{,}61\times10^{-10} \approx4{,}05\times10^{-18}\text{ C}.

Passo 3

Cálculo de D_{r}(a) pela lei de Gauss:
\oint_{S}D\cdot dA =D_{r}(a)\,4\pi a^2 =Q_{\text{enc}}.
Isolando D_{r}(a):
D_{r}(a) =\frac{Q_{\text{enc}}}{4\pi a^2} =\frac{4{,}05\times10^{-18}}{4\pi\,(10^{-3})^2} \approx3{,}22\times10^{-13}\;\text{C/m}^2.

Resposta

O total de carga é
Q_{\text{enc}}\approx4{,}05\times10^{-18}\text{ C},
e o fluxo de deslocamento na superfície de raio 1 mm é
D_{r}(1\text{ mm})\approx3{,}22\times10^{-13}\;\text{C/m}^2.

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