The cylindrical surface \rho=8 \mathrm{~cm} contains the surface charge density, \rho_{s}=5 e^{-20|z|} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}.
a) What is the total amount of charge present?
b) How much flux leaves the surface \rho=8 \mathrm{~cm}, 1 \mathrm{~cm}<z<5 \mathrm{~cm}, 30^{\circ}<\varphi<90^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado dá uma “casca” cilíndrica de raio \rho=8\text{ cm}=0{,}08\text{ m} com densidade superficial de carga
\rho_{s}(z)=5\,e^{-20|z|}\;\text{nC/m}^2
em todo z\in(-\infty,\infty).
a) Pede a carga total Q na casca inteira.
b) Pede o fluxo eletricamente “saindo” de um trecho da casca definido por
1\text{ cm}<z<5\text{ cm},\quad 30^\circ<\varphi<90^\circ.
Para (a) usaremos
Q=\iint_{\text{casca}}\rho_s\,dA,
com dA=\rho\,d\varphi\,dz.
Para (b) usamos a condição de salto do campo através de uma superfície de carga:
E_{\text{out}}-E_{\text{in}}=\frac{\rho_s}{\varepsilon_0},
logo o fluxo para fora é
\Phi=\iint \frac{\rho_s}{\varepsilon_0}\,dA.

Passo 2

Cálculo de Q.
Q=\int_{z=-\infty}^{\infty}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\bigl[5\,e^{-20|z|}\times10^{-9}\bigr]\;\bigl(\rho\,d\varphi\,dz\bigr),
onde \rho=0{,}08 m e o fator 10^{-9} converte nC em C.
Agrupando constantes:
Q=5\times10^{-9}\times0{,}08\int_{0}^{2\pi}d\varphi\;\int_{-\infty}^{\infty}e^{-20|z|}\,dz.

Passo 3

Avaliação das integrais:
  1. \displaystyle \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi.
  2. \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-20|z|}\,dz =2\int_{0}^{\infty}e^{-20z}\,dz =2\cdot\frac{1}{20} =\frac{1}{10}.
    Então
Q=5\times10^{-9}\times0{,}08\times2\pi\times\frac{1}{10}.

Passo 4

Cálculo numérico de Q:
Q=5\cdot10^{-9}\times0{,}08\times\frac{2\pi}{10} =0{,}08\pi\times10^{-9}\approx0{,}251\times10^{-9}\text{ C} =2{,}51\times10^{-10}\text{ C}.

Passo 5

Cálculo do fluxo \Phi saindo da parte da casca com
0{,}01\le z\le0{,}05,\quad \frac{\pi}{6}\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.
Usando
\Phi =\iint\frac{\rho_s}{\varepsilon_0}\,dA =\int_{z=0{,}01}^{0{,}05}\!\int_{\varphi=\pi/6}^{\pi/2} \frac{5\,e^{-20z}\,10^{-9}}{\varepsilon_0}\; \bigl(0{,}08\,d\varphi\,dz\bigr).

Passo 6

Separando integrais:
\Phi =\frac{5\times10^{-9}}{\varepsilon_0}\,0{,}08 \left(\int_{\pi/6}^{\pi/2}d\varphi\right) \left(\int_{0{,}01}^{0{,}05}e^{-20z}dz\right).
Aqui \displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/2}d\varphi=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3},
e
\int_{0{,}01}^{0{,}05}e^{-20z}dz =\frac{1}{20}\bigl(e^{-20\cdot0{,}01}-e^{-20\cdot0{,}05}\bigr) =\frac{1}{20}\bigl(e^{-0{,}2}-e^{-1}\bigr).

Passo 7

Cálculo numérico de \Phi.
\Phi =\frac{5\times10^{-9}}{8{,}85\times10^{-12}}\;0{,}08\;\frac{\pi}{3}\;\frac{1}{20}\bigl(e^{-0,2}-e^{-1}\bigr).
Numericamente:
\frac{5\times10^{-9}}{8{,}85\times10^{-12}}\approx565, \quad e^{-0,2}\!-\!e^{-1}\approx0,8187-0,3679=0,4508.
Logo
\Phi\approx565\cdot0{,}08\cdot\frac{\pi}{3}\cdot\frac{0,4508}{20} \approx1{,}07\;\text{N\cdotm}^2\!/\,\text{C}.

Resposta

(a) Q=2{,}51\times10^{-10} C.
(b) \Phi\approx1{,}07\;\mathrm{N\cdotm^2/C}.

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