Considere um cilindro não condutor sólido de raio
.
a) Calcule o campo elétrico em função de
para
e
para uma densidade de carga volumétrica
constante.
b) Repita o procedimento em a) com densidade
.
c) Calcule agora para
.
d) Como fica o campo se a densidade for
? Comparando com o caso a) e b), existe alguma relação? Se sim, é possível justificar pensando em termos das cargas e o princípio da superposição?
a) Calcule o campo elétrico em função de
b) Repita o procedimento em a) com densidade
c) Calcule agora para
d) Como fica o campo se a densidade for
Passo 1
O enunciado trata de um cilindro não condutor sólido, de raio
e carga distribuída segundo diferentes densidades
. Queremos achar o campo elétrico
em função do raio
, tanto para
(dentro) quanto para
(fora). O conteúdo principal é aplicar a Lei de Gauss em simetria cilíndrica.
Passo 2
Em simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana coaxial de raio
e comprimento
. A Lei de Gauss diz:
Aqui
Para
, usamos
. Assim
Passo 3
Parte (a):
constante.
Para :
Para
Para
:
Passo 4
Parte (b):
.
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Parte (c):
.
Para :
Para
Para
:
Passo 6
Parte (d):
.
Essa densidade é justamente a soma dos casos de (c) e (b). Pelo princípio da superposição, o campo resultante é
Essa densidade é justamente a soma dos casos de (c) e (b). Pelo princípio da superposição, o campo resultante é
em cada região. Logo obtemos a soma das expressões de (c) e (b). Isso mostra que podemos interpretar a densidade como sobreposição de cargas dos itens (b) e (c).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
isto é, basta somar as expressões de (b) e (c). Isso é consequência direta da superposição de cargas.]