Considere um cilindro não condutor sólido de raio R.
a) Calcule o campo elétrico em função de r para r<R e r>R para uma densidade de carga volumétrica \rho_{0} constante.
b) Repita o procedimento em a) com densidade \rho\left(r^{\prime}\right)=-\frac{1}{2} \rho_{0} R / r^{\prime}.
c) Calcule agora para \rho\left(r^{\prime}\right)=\rho_{0} r^{\prime} / R.
d) Como fica o campo se a densidade for \rho\left(r^{\prime}\right)=\rho_{0}\left(r^{\prime} / R-\frac{1}{2} R / r^{\prime}\right) ? Comparando com o caso a) e b), existe alguma relação? Se sim, é possível justificar pensando em termos das cargas e o princípio da superposição?

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro não condutor sólido, de raio R e carga distribuída segundo diferentes densidades \rho(r'). Queremos achar o campo elétrico \mathbf{E}(r) em função do raio r, tanto para r<R (dentro) quanto para r>R (fora). O conteúdo principal é aplicar a Lei de Gauss em simetria cilíndrica.

Passo 2

Em simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana coaxial de raio r e comprimento L. A Lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =E(r)\,(2\pi rL) =\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui
Q_{\rm enc}(r) =2\pi L\int_{0}^{r}\rho(r')\,r'\,dr'.
Para r>R, usamos Q_{\rm enc}(r)=Q_{\rm total} =2\pi L\int_{0}^{R}\rho(r')\,r'\,dr'. Assim
E(r)=\frac{Q_{\rm enc}(r)}{2\pi rL\,\varepsilon_{0}}.

Passo 3

Parte (a): \rho(r')=\rho_{0} constante.
Para r<R:
Q_{\rm enc}(r) =2\pi L\int_{0}^{r}\rho_{0}\,r'\,dr' =\pi\rho_{0}L\,r^{2},
E(r)=\frac{\pi\rho_{0}L\,r^{2}}{2\pi rL\,\varepsilon_{0}} =\frac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\,r.
Para r>R:
Q_{\rm total} =\pi\rho_{0}L\,R^{2}, \quad E(r) =\frac{\pi\rho_{0}L\,R^{2}}{2\pi rL\,\varepsilon_{0}} =\frac{\rho_{0}R^{2}}{2\varepsilon_{0}\,r}.

Passo 4

Parte (b): \rho(r')=-\tfrac12\,\rho_{0}\,\dfrac{R}{r'}.
Para r<R:
Q_{\rm enc}(r) =2\pi L\int_{0}^{r}\Bigl(-\tfrac12\rho_{0}\frac{R}{r'}\Bigr)\,r'\,dr' =-\pi\rho_{0}L\,R\,r,
E(r)=\frac{-\pi\rho_{0}L\,R\,r}{2\pi rL\,\varepsilon_{0}} =-\frac{\rho_{0}R}{2\varepsilon_{0}} \quad(\text{constante}).
Para r>R:
Q_{\rm total} =-\pi\rho_{0}L\,R^{2}, \quad E(r) =\frac{-\pi\rho_{0}L\,R^{2}}{2\pi rL\,\varepsilon_{0}} =-\frac{\rho_{0}R^{2}}{2\varepsilon_{0}\,r}.

Passo 5

Parte (c): \rho(r')=\rho_{0}\,\dfrac{r'}{R}.
Para r<R:
Q_{\rm enc}(r) =2\pi L\int_{0}^{r}\rho_{0}\frac{r'}{R}\,r'\,dr' =\frac{2\pi\rho_{0}L}{R}\,\frac{r^{3}}{3} =\frac{2\pi\rho_{0}L\,r^{3}}{3R},
E(r)=\frac{\tfrac{2\pi\rho_{0}L\,r^{3}}{3R}}{2\pi rL\,\varepsilon_{0}} =\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}R}\,r^{2}.
Para r>R:
Q_{\rm total} =\frac{2\pi\rho_{0}L\,R^{3}}{3R} =\frac{2\pi\rho_{0}L\,R^{2}}{3}, \quad E(r) =\frac{\tfrac{2\pi\rho_{0}L\,R^{2}}{3}}{2\pi rL\,\varepsilon_{0}} =\frac{\rho_{0}R^{2}}{3\varepsilon_{0}\,r}.

Passo 6

Parte (d): \displaystyle \rho(r')=\rho_{0}\Bigl(\frac{r'}{R}-\frac12\frac{R}{r'}\Bigr).
Essa densidade é justamente a soma dos casos de (c) e (b). Pelo princípio da superposição, o campo resultante é
E_{(d)}(r)=E_{\text{(c)}}(r)+E_{(b)}(r)
em cada região. Logo obtemos a soma das expressões de (c) e (b). Isso mostra que podemos interpretar a densidade como sobreposição de cargas dos itens (b) e (c).

Resposta

(a)
E(r)= \begin{cases} \displaystyle \dfrac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\,r, & r<R,\\[1em] \displaystyle \dfrac{\rho_{0}R^{2}}{2\varepsilon_{0}\,r}, & r>R. \end{cases}
(b)
E(r)= \begin{cases} \displaystyle -\dfrac{\rho_{0}R}{2\varepsilon_{0}}, & r<R,\\[0.7em] \displaystyle -\dfrac{\rho_{0}R^{2}}{2\varepsilon_{0}\,r}, & r>R. \end{cases}
(c)
E(r)= \begin{cases} \displaystyle \dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}R}\,r^{2}, & r<R,\\[1em] \displaystyle \dfrac{\rho_{0}R^{2}}{3\varepsilon_{0}\,r}, & r>R. \end{cases}
(d)
E_{(d)}(r)=E_{\text{(c)}}(r)+E_{(b)}(r),
isto é, basta somar as expressões de (b) e (c). Isso é consequência direta da superposição de cargas.]

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