3 For which numbers b and c are these matrices positive definite?
S=\left[\begin{array}{ll} 1 & b \\\ b & 9 \end{array}\right] \quad S=\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\\\ 4 & c \end{array}\right] \quad S=\left[\begin{array}{ll} c & b \\\ b & c \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede: para cada uma das três matrizes simétricas dadas, determinar para quais valores dos parâmetros b e c a matriz é definida positiva.
As matrizes são:
S_1=\begin{pmatrix}1 & b\\[4pt] b & 9\end{pmatrix},\qquad S_2=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 4 & c\end{pmatrix},\qquad S_3=\begin{pmatrix}c & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}.
O que se pede exatamente:
  • Para S_1: quais valores de b tornam S_1 definida positiva?
  • Para S_2: quais valores de c tornam S_2 definida positiva?
  • Para S_3: quais valores de b e c tornam S_3 definida positiva?]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma simples e prática).
Uma matriz simétrica S é definida positiva se, para todo vetor não nulo x, tem-se x^{T} S x>0. Para matrizes 2\times2 simétricas existe um critério simples (critério de Sylvester) que evita testar todos os vetores: basta que os determinantes dos menores principais superiores sejam positivos. Em 2\times2 isso significa:
  • o primeiro menor principal (entrada 11) deve ser >0;
  • o determinante da matriz toda deve ser >0.
Em termos práticos, para uma matriz
\begin{pmatrix}a & d\\[4pt] d & e\end{pmatrix},
as condições são
a>0\qquad\text{e}\qquad \det=\;ae-d^{2}>0.
Vou aplicar exatamente isso às três matrizes. Se preferir, dá para pensar também em autovalores: para 2\times2 os autovalores devem ser positivos; para matrizes bem estruturadas isso resulta nas mesmas desigualdades que vamos obter.]

Passo 3

Analisando S_1=\begin{pmatrix}1 & b\\[4pt] b & 9\end{pmatrix}.
  • Primeiro menor principal: a=1. Temos
1>0,
já satisfeito (não depende de b).
  • Determinante da matriz:
\det(S_1)=1\cdot 9 - b^{2}=9 - b^{2}.
Pela condição de Sylvester precisamos de
9 - b^{2}>0.
Isto é equivalente a
b^{2}<9\quad\Longleftrightarrow\quad |b|<3.
Portanto, S_1 é definida positiva quando |b|<3.]

Passo 4

Analisando S_2=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 4 & c\end{pmatrix}.
  • Primeiro menor principal: a=2. Temos
2>0,
ok (independe de c).
  • Determinante:
\det(S_2)=2\cdot c - 4^{2}=2c - 16.
Exigimos
2c - 16>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2c>16 \quad\Longleftrightarrow\quad c>8.
Portanto, S_2 é definida positiva quando c>8.]

Passo 5

Analisando S_3=\begin{pmatrix}c & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}.
  • Primeiro menor principal: a=c. Precisamos de
c>0.
  • Determinante:
\det(S_3)=c\cdot c - b^{2}=c^{2}-b^{2}.
Exigimos
c^{2}-b^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad c^{2}>b^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad |c|>|b|.
Combinando com c>0 obtemos
c> |b|.
Uma interpretação alternativa rápida (útil na prova): os autovalores de S_3 são \lambda_{1}=c+b e \lambda_{2}=c-b; ambos precisam ser positivos, o que dá imediatamente c+b>0 e c-b>0, e essas duas desigualdades juntas equivalem a c>|b|.]

Passo 6

Resumo intencional e um exemplo numérico para fixar (bem rápido):
  • Se em S_1 tomar b=2{,}5 (ou seja |b|=2{,}5<3), então \det(S_1)=9-6{,}25=2{,}75>0 e S_1 é definida positiva.
  • Se em S_2 tomar c=10, então \det(S_2)=2\cdot 10-16=4>0 e S_2 é definida positiva.
  • Se em S_3 tomar c=3 e b=2 então c>|b| e os autovalores 3\pm2 são 5 e 1, ambos positivos, logo S_3 é definida positiva.

Resposta

S_1 é definida positiva para |b|<3.
S_2 é definida positiva para c>8.
S_3 é definida positiva para c>|b|.

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