3 For which numbers b and c are these matrices positive definite?
S=\left[\begin{array}{ll} 1 & b \\\ b & 9 \end{array}\right] \quad S=\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\\\ 4 & c \end{array}\right] \quad S=\left[\begin{array}{ll} c & b \\\ b & c \end{array}\right] .
Passo 1
O enunciado pede: para cada uma das três matrizes simétricas dadas, determinar para quais valores dos parâmetros b e c a matriz é definida positiva.
As matrizes são:
S_1=\begin{pmatrix}1 & b\\[4pt] b & 9\end{pmatrix},\qquad S_2=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 4 & c\end{pmatrix},\qquad S_3=\begin{pmatrix}c & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}.
O que se pede exatamente:
Para S_1: quais valores de b tornam S_1 definida positiva?
Para S_2: quais valores de c tornam S_2 definida positiva?
Para S_3: quais valores de b e c tornam S_3 definida positiva?]
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma simples e prática).
Uma matriz simétrica S é definida positiva se, para todo vetor não nulo x, tem-se x^{T} S x>0. Para matrizes 2\times2 simétricas existe um critério simples (critério de Sylvester) que evita testar todos os vetores: basta que os determinantes dos menores principais superiores sejam positivos. Em 2\times2 isso significa:
o primeiro menor principal (entrada 11) deve ser >0;
o determinante da matriz toda deve ser >0.
Em termos práticos, para uma matriz
\begin{pmatrix}a & d\\[4pt] d & e\end{pmatrix},
as condições são
a>0\qquad\text{e}\qquad \det=\;ae-d^{2}>0.
Vou aplicar exatamente isso às três matrizes. Se preferir, dá para pensar também em autovalores: para 2\times2 os autovalores devem ser positivos; para matrizes bem estruturadas isso resulta nas mesmas desigualdades que vamos obter.]
Passo 3
Analisando S_1=\begin{pmatrix}1 & b\\[4pt] b & 9\end{pmatrix}.
Uma interpretação alternativa rápida (útil na prova): os autovalores de S_3 são \lambda_{1}=c+b e \lambda_{2}=c-b; ambos precisam ser positivos, o que dá imediatamente c+b>0 e c-b>0, e essas duas desigualdades juntas equivalem a c>|b|.]
Passo 6
Resumo intencional e um exemplo numérico para fixar (bem rápido):
Se em S_1 tomar b=2{,}5 (ou seja |b|=2{,}5<3), então \det(S_1)=9-6{,}25=2{,}75>0 e S_1 é definida positiva.
Se em S_2 tomar c=10, então \det(S_2)=2\cdot 10-16=4>0 e S_2 é definida positiva.
Se em S_3 tomar c=3 e b=2 então c>|b| e os autovalores 3\pm2 são 5 e 1, ambos positivos, logo S_3 é definida positiva.
Resposta
S_1 é definida positiva para |b|<3. S_2 é definida positiva para c>8. S_3 é definida positiva para c>|b|.