Se o Wronskiano de f e g é 3 e^2 t, e se f(t)=e^-2 t, determine g(t) :
Escolha uma opção:
t e^t+c e^t
e^tt+c t
t e^t+c t
e^4 t2+c e^-2 t
Nenhuma das demais alternativas
t e^2 t3+c e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo o Wronskiano de duas funções, f e g. O enunciado nos dá que o Wronskiano W(f, g) é igual a 3 e^2 t e que f(t) = e^-2 t. A nossa missão é descobrir qual é a função g(t) que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções f e g é dado por:
W(f, g)(t) = f(t) g'(t) - f'(t) g(t)
Ele é usado para verificar a independência linear das soluções de uma equação diferencial, mas aqui vamos usar essa fórmula para relacionar f, g e suas derivadas.

Passo 3

Sabemos que W(f, g)(t) = 3 e^2 t e que f(t) = e^-2 t. Vamos calcular f'(t):
f'(t) = ddt e^-2 t = -2 e^-2 t

Passo 4

Substituindo f(t) e f'(t) na fórmula do Wronskiano:
W(f, g)(t) = e^-2 t g'(t) - (-2 e^-2 t) g(t) = e^-2 t g'(t) + 2 e^-2 t g(t) = 3 e^2 t

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão dividindo ambos os lados por e^-2 t:
g'(t) + 2 g(t) = 3 e^4 t
Aqui, multiplicamos e^2 t por 3 e^2 t para ficar 3 e^4 t.

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
g'(t) + 2 g(t) = 3 e^4 t
Para resolver, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é e^integral P(t) dt, onde P(t) é o coeficiente de g(t). Aqui, P(t) = 2, então:
mu(t) = e^integral 2 dt = e^2 t

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^2 t g'(t) + 2 e^2 t g(t) = 3 e^6 t
O lado esquerdo agora é a derivada de e^2 t g(t):
ddt ( e^2 t g(t) ) = 3 e^6 t

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a t:
e^2 t g(t) = integral 3 e^6 t dt = 36 e^6 t + C = 12 e^6 t + C

Passo 9

Finalmente, isolamos g(t) dividindo por e^2 t:
g(t) = 12 e^4 t + C e^-2 t

Resposta

A função g(t) é e^4 t2 + c e^-2 t.

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