Se o Wronskiano de
e
é
, e se
, determine
:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo o Wronskiano de duas funções,
e
. O enunciado nos dá que o Wronskiano
é igual a
e que
. A nossa missão é descobrir qual é a função
que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções
e
é dado por:
Ele é usado para verificar a independência linear das soluções de uma equação diferencial, mas aqui vamos usar essa fórmula para relacionar
,
e suas derivadas.
Passo 3
Sabemos que
e que
. Vamos calcular
:
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula do Wronskiano:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão dividindo ambos os lados por
:
Aqui, multiplicamos
por
para ficar
.
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é
, onde
é o coeficiente de
. Aqui,
, então:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 9
Finalmente, isolamos
dividindo por
:
Resposta
A função
é
.