Nos problemas 41 a 50 , ache dy/dx com o emprego da diferenciação implícita.
x raizy+y raizx=16

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
xraizy+yraizx=16
e pede dy/dx usando diferenciação implícita. Vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar cada termo.

Passo 2

Para simplificar, escrevemos as raízes como potências:
x,y^1/2+y,x^1/2=16

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Para o primeiro produto x,y^1/2 usamos:
ddx(x,y^1/2)=1cdot y^1/2+xcdot12y^-1/2dydx=raizy+x12raizydydx,
e para y,x^1/2:
ddx(y,x^1/2)=dydxcdotraizx+ycdot12x^-1/2=raizxdydx+y2raizx
Somando dá 0, pois o lado direito é constante.

Passo 4

Juntando os termos com dy/dx de um lado e os demais do outro, obtemos
l(x2raizy+raizxr)dydx+l(raizy+y2raizxr)=0

Passo 5

Isolando dy/dx resulta
dydx=-raizy+y2raizxx2raizy+raizx,
que, ao multiplicar numerador e denominador por 2raizxraizy, pode-se simplificar para
dydx=-y,(2raizx+raizy)x,(raizx+2raizy)

Resposta

dy/dx=-dfracy,(2raizx+raizy)x,(raizx+2raizy)

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