Se o Wronskiano de
e
é
, e se
, determine
:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a função $ g(t) $ sabendo que o Wronskiano de $ f $ e $ g $ é $ e^{t} $ e que $ f(t) = 1 $. O conteúdo aqui envolve Wronskiano e equações diferenciais. Vamos precisar da definição do Wronskiano e de como usá-lo para encontrar a função desconhecida $ g(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções $ f(t) $ e $ g(t) $, o Wronskiano $ W(f, g) $ é dado por:
Nesse caso, sabemos que $ f(t) = 1 $. Então, vamos substituir na fórmula do Wronskiano.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
Sabemos que $ W(f, g) = e^{t} $, então:
Passo 4
Agora, para encontrar $ g(t) $, precisamos integrar $ g’(t) $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A função $ g(t) $ é $ e^{t} + C $.