Se o Wronskiano de f e g é e^t, e se f(t)=1, determine g(t) :
Escolha uma opção:
e^t+C
t^2 e^t+C e^t
t e^t+C
e^t+C e^t
Nenhuma das demais alternativas
e^t+C t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a função $ g(t) $ sabendo que o Wronskiano de $ f $ e $ g $ é $ e^{t} $ e que $ f(t) = 1 $. O conteúdo aqui envolve Wronskiano e equações diferenciais. Vamos precisar da definição do Wronskiano e de como usá-lo para encontrar a função desconhecida $ g(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções $ f(t) $ e $ g(t) $, o Wronskiano $ W(f, g) $ é dado por:
f(t)
Nesse caso, sabemos que $ f(t) = 1 $. Então, vamos substituir na fórmula do Wronskiano.

Passo 3

Calculando as derivadas:
f(t) = 1 Rightarrow f'(t) = 0
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
W(f, g) = 1 cdot g'(t) - 0 cdot g(t) = g'(t)
Sabemos que $ W(f, g) = e^{t} $, então:
W(f, g) = e^t

Passo 4

Agora, para encontrar $ g(t) $, precisamos integrar $ g’(t) $:
g(t)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A função $ g(t) $ é $ e^{t} + C $.

Exercícios relacionados