Se
é um tensor do tipo indicado, então prove que a quantidade contraída
é um vetor covariante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, se $ X^a{}{bc} $ é um tensor com esses índices específicos, então a quantidade que obtemos ao contrair esses índices, ou seja, $ Y_c = X^a{}{ac} $, é um vetor covariante.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra tensorial, como tensor contravariante e covariante, além do que significa contrair índices. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um tensor. Um tensor é uma entidade matemática que generaliza os conceitos de escalares, vetores e matrizes. Ele é definido por como seus componentes se comportam sob mudanças de coordenadas.
No nosso caso, $ X^a{}_{bc} $ é um tensor de tipo (1,2), o que significa que tem um índice superior (contravariante) e dois inferiores (covariantes).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre contração de índices. Contrair um tensor significa somar sobre um índice contravariante e um índice covariante com o mesmo nome. No nosso exemplo, contrair o índice $ a $ superior com o índice $ a $ inferior de $ X^a{}_{ac} $.
Isso resulta em um objeto com menos índices. Aqui, após a contração, sobra apenas o índice $ c $ inferior, nos dando $ Y_c $.
Passo 4
O próximo passo é entender o que é um vetor covariante. Um vetor covariante, ou um 1-forma, é um tensor de tipo (0,1), ou seja, tem apenas um índice inferior. Ele transforma de uma certa maneira quando mudamos de sistema de coordenadas.
Então, queremos provar que $ Y_c $ tem essa propriedade de transformar como um vetor covariante.
Passo 5
Para provar que $ Y_c $ é realmente um vetor covariante, precisamos mostrar que, sob uma mudança de coordenadas, suas componentes transformam-se de acordo com a regra dos vetores covariantes.
Sabemos que os tensores transformam-se de maneira específica quando mudamos de coordenadas, usando as matrizes de transformação e suas inversas. Como $ Y_c $ é obtido pela contração de índices de $ X^a{}_{bc} $, que já é um tensor, $ Y_c $ herda essas propriedades de transformação.
Passo 6
Mais especificamente, ao contrair $ a $ em $ X^a{}_{bc} $, estamos efetivamente multiplicando pelas componentes da matriz de transformação inversa e somando sobre $ a $. O resultado dessa operação mantém a transformação covariante, já que estamos lidando com índices inferiores.
Portanto, $ Y_c $ transforma-se da mesma maneira que um vetor covariante deve transformar, confirmando que ele é realmente um vetor covariante.
Resposta
Assim, mostramos passo a passo que $ Y_c = X^a{}_{ac} $ é um vetor covariante.