Se Y^a e Z^a são vetores contravariantes, então mostre que Y^a Z^a é um tensor contravariante de rank 2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre a teoria de tensores. A questão pede para mostrar que, se $ Y^{a} $ e $ Z^{a} $ são vetores contravariantes, então o produto $ Y^{a} Z^{b} $ é um tensor contravariante de rank 2. Para isso, vamos precisar entender o que são vetores contravariantes, como eles transformam quando mudamos de coordenadas e como esses conceitos se aplicam para formar tensores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor contravariante. Vetores contravariantes, como $ Y^{a} $ e $ Z^{a} $, são objetos que transformam suas componentes de uma forma específica quando mudamos o sistema de coordenadas. A transformação é dada por:
Y^a
Z^a
Aqui, $ x’^{a} $ são as novas coordenadas e $ x^{c} $ as antigas.

Passo 3

Agora, queremos formar um tensor de rank 2 a partir desses vetores. Um tensor contravariante de rank 2, denotado por $ T^{ab} $, tem componentes que transformam de acordo com a regra:
T^ab
Nosso objetivo é mostrar que $ Y^{a} Z^{b} $ segue essa regra de transformação.

Passo 4

Vamos considerar o produto $ Y^{a} Z^{b} $ e ver como ele se transforma:
Y^a Z^b
Substituindo as transformações dos vetores contravariantes, temos:
(Y^a Z^b)' = Y'^a Z'^b

Passo 5

Multiplicando as expressões, obtemos:
Y'^a Z'^b = partial x'^apartial x^c partial x'^bpartial x^d Y^c Z^d
Isso se assemelha exatamente à regra de transformação de um tensor contravariante de rank 2, onde $ T^{ab} = Y^{a} Z^{b} $.

Resposta

Portanto, concluímos que $ Y^{a} Z^{b} $ é de fato um tensor contravariante de rank 2.

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