Se
e
são vetores contravariantes, então mostre que
é um tensor contravariante de rank 2.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre a teoria de tensores. A questão pede para mostrar que, se $ Y^{a} $ e $ Z^{a} $ são vetores contravariantes, então o produto $ Y^{a} Z^{b} $ é um tensor contravariante de rank 2. Para isso, vamos precisar entender o que são vetores contravariantes, como eles transformam quando mudamos de coordenadas e como esses conceitos se aplicam para formar tensores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor contravariante. Vetores contravariantes, como $ Y^{a} $ e $ Z^{a} $, são objetos que transformam suas componentes de uma forma específica quando mudamos o sistema de coordenadas. A transformação é dada por:
Aqui, $ x’^{a} $ são as novas coordenadas e $ x^{c} $ as antigas.
Passo 3
Agora, queremos formar um tensor de rank 2 a partir desses vetores. Um tensor contravariante de rank 2, denotado por $ T^{ab} $, tem componentes que transformam de acordo com a regra:
Nosso objetivo é mostrar que $ Y^{a} Z^{b} $ segue essa regra de transformação.
Passo 4
Vamos considerar o produto $ Y^{a} Z^{b} $ e ver como ele se transforma:
Substituindo as transformações dos vetores contravariantes, temos:
Passo 5
Multiplicando as expressões, obtemos:
Isso se assemelha exatamente à regra de transformação de um tensor contravariante de rank 2, onde $ T^{ab} = Y^{a} Z^{b} $.
Resposta
Portanto, concluímos que $ Y^{a} Z^{b} $ é de fato um tensor contravariante de rank 2.