Um átomo em repouso em um laboratório emite um fóton e sofre um recuo. Se sua massa inicial é m0 e ele perde a energia de repouso e durante a emissão, prove que a frequência do fóton emitido é dada por:
nu=eh(1-e2 m0 c^2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um átomo parado em um laboratório que emite um fóton e, por isso, sofre um recuo. A massa inicial do átomo é $ m_{0} $ e ele perde uma energia de repouso $ e $ durante a emissão. Nosso objetivo é mostrar que a frequência $ \nu $ do fóton emitido é dada por:
m0
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de conservação de energia e momento, além da relação entre energia e frequência de um fóton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia de um fóton está relacionada à sua frequência pela fórmula de Planck:
E = h nu
Aqui, $ h $ é a constante de Planck e $ \nu $ é a frequência do fóton. Como o átomo emite um fóton, a energia perdida pelo átomo será igual à energia do fóton emitido.

Passo 3

A energia total do átomo antes da emissão do fóton é sua energia de repouso, que é $ E_{inicial} = m_{0} c^{2} $, onde $ c $ é a velocidade da luz. Após a emissão, a energia de repouso do átomo diminui para $ E_{final} = (m_{0} - \Delta m) c^{2} $, onde $ \Delta m $ é a massa perdida.
A energia perdida pelo átomo é dada por $ e = \Delta m c^{2} $. Assim, a energia final do átomo é $ E_{final} = m_{0} c^{2} - e $.

Passo 4

Segundo a conservação de energia, a energia perdida pelo átomo ($ e e éàó E = h \nu $) mais a energia cinética adquirida pelo átomo ao recuar.
Vamos considerar que o átomo, após a emissão do fóton, ganha uma velocidade $ v $ para trás. A energia cinética do átomo é então:
E = h nu
Portanto, temos:
v

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o momento do átomo com o momento do fóton. A conservação do momento diz que o momento inicial do sistema é zero (átomo em repouso) e, após a emissão, o momento do átomo mais o momento do fóton deve ser zero:
m0 v = h nuc
Resolvendo para $ v $:
v

Passo 6

Substituímos $ v $ na equação da energia:
v
Simplificando:
e = h nu + 12 m0 (h num0 c)^2

Passo 7

Agora, queremos resolver para $ \nu $. Vamos reorganizar a equação:
nu
Essa é uma equação quadrática em $ \nu $. Para simplificar, vamos considerar que $ e $ é muito menor que $ m_{0} c^{2} $, permitindo desprezar o termo $ \nu^{2} $ na primeira aproximação. Assim, temos:
h^2 nu^22 m0 c^2 + h nu - e = 0
Então:
nu

Passo 8

Para obter uma correção de segunda ordem, voltamos à equação original e resolvemos para $ \nu $:
Assumindo $ \nu = \frac{e}{h} (1 - \delta) $, onde $ \delta $ é uma pequena correção, substituímos de volta na equação e resolvemos para $ \delta $. Isso leva à expressão final:
nu

Resposta

A frequência do fóton emitido pelo átomo é:
nu = eh(1 - e2 m0 c^2)

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