Um átomo em repouso em um laboratório emite um fóton e sofre um recuo. Se sua massa inicial é
e ele perde a energia de repouso
durante a emissão, prove que a frequência do fóton emitido é dada por:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um átomo parado em um laboratório que emite um fóton e, por isso, sofre um recuo. A massa inicial do átomo é $ m_{0} $ e ele perde uma energia de repouso $ e $ durante a emissão. Nosso objetivo é mostrar que a frequência $ \nu $ do fóton emitido é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de conservação de energia e momento, além da relação entre energia e frequência de um fóton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia de um fóton está relacionada à sua frequência pela fórmula de Planck:
Aqui, $ h $ é a constante de Planck e $ \nu $ é a frequência do fóton. Como o átomo emite um fóton, a energia perdida pelo átomo será igual à energia do fóton emitido.
Passo 3
A energia total do átomo antes da emissão do fóton é sua energia de repouso, que é $ E_{inicial} = m_{0} c^{2} $, onde $ c $ é a velocidade da luz. Após a emissão, a energia de repouso do átomo diminui para $ E_{final} = (m_{0} - \Delta m) c^{2} $, onde $ \Delta m $ é a massa perdida.
A energia perdida pelo átomo é dada por $ e = \Delta m c^{2} $. Assim, a energia final do átomo é $ E_{final} = m_{0} c^{2} - e $.
Passo 4
Segundo a conservação de energia, a energia perdida pelo átomo ($ e
E = h \nu $) mais a energia cinética adquirida pelo átomo ao recuar.
Vamos considerar que o átomo, após a emissão do fóton, ganha uma velocidade $ v $ para trás. A energia cinética do átomo é então:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o momento do átomo com o momento do fóton. A conservação do momento diz que o momento inicial do sistema é zero (átomo em repouso) e, após a emissão, o momento do átomo mais o momento do fóton deve ser zero:
Resolvendo para $ v $:
Passo 6
Substituímos $ v $ na equação da energia:
Simplificando:
Passo 7
Agora, queremos resolver para $ \nu $. Vamos reorganizar a equação:
Essa é uma equação quadrática em $ \nu $. Para simplificar, vamos considerar que $ e $ é muito menor que $ m_{0} c^{2} $, permitindo desprezar o termo $ \nu^{2} $ na primeira aproximação. Assim, temos:
Então:
Passo 8
Para obter uma correção de segunda ordem, voltamos à equação original e resolvemos para $ \nu $:
Assumindo $ \nu = \frac{e}{h} (1 - \delta) $, onde $ \delta $ é uma pequena correção, substituímos de volta na equação e resolvemos para $ \delta $. Isso leva à expressão final:
Resposta
A frequência do fóton emitido pelo átomo é: