Questão 3. (Valor 2,0) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
b) W=(x, y, z, t) / x-y-z-t=0 ; 2 x+y+t=0 ; z-t=0

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x - y - z - t = 0, 2x + y + t = 0, z - t = 0
Queremos achar uma base de W e sua dimensão. Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo acima, obter a forma paramétrica geral de (x,y,z,t) e contar o número de parâmetros livres.

Passo 2

Da terceira equação
z - t = 0
segue
z = t
Substituindo z=t nas duas primeiras equações:
x - y - t - t = 0 ;Rightarrow; x - y - 2t = 0, 2x + y + t = 0

Passo 3

Da primeira dessas obtemos
x = y + 2t
Na segunda, substituímos x=y+2t:
2(y+2t) + y + t = 0 ;Rightarrow; 2y + 4t + y + t = 0 ;Rightarrow; 3y + 5t = 0 ;Rightarrow; y = -53,t
Logo
x = y + 2t = -53t + 2t = 13t, z = t, t = t

Passo 4

Só o parâmetro t é livre, então a solução geral é
(x,y,z,t) = tl(tfrac13, -tfrac53,1,1r)
Isso mostra que W é gerado por um único vetor. Para evitar frações, podemos escolher como base o vetor obtido multiplicando por 3:
l(1,-5,3,3r)
Como há apenas um parâmetro livre,
dim W = 1

Resposta

Base de W: (1,-5,3,3)
Dimensão de W: 1

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