Questão 3. (Valor 2,0) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
b)
Passo 1
O enunciado define o subespaço
Queremos achar uma base de W e sua dimensão. Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo acima, obter a forma paramétrica geral de (x,y,z,t) e contar o número de parâmetros livres.
Passo 2
Da terceira equação
z - t = 0
segue
z = t
Substituindo z=t nas duas primeiras equações:
x - y - t - t = 0 ;Rightarrow; x - y - 2t = 0, 2x + y + t = 0
Passo 3
Da primeira dessas obtemos
x = y + 2t
Na segunda, substituímos x=y+2t:
2(y+2t) + y + t = 0 ;Rightarrow; 2y + 4t + y + t = 0 ;Rightarrow; 3y + 5t = 0 ;Rightarrow; y = -53,t
Logo
x = y + 2t = -53t + 2t = 13t, z = t, t = t
Passo 4
Só o parâmetro t é livre, então a solução geral é
(x,y,z,t) = tl(tfrac13, -tfrac53,1,1r)
Isso mostra que W é gerado por um único vetor. Para evitar frações, podemos escolher como base o vetor obtido multiplicando por 3: