Esboce o campo vetorial vec{F} dado por:
vec{F}(x, y, z)=\vec{i}+2 \vec{j}+z \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar em \mathbb{R}^3 o campo vetorial
\vec F(x,y,z)=\vec i+2\,\vec j+z\,\vec k.
O conteúdo aqui é entendimento geométrico de campo vetorial: vamos decompor a parte horizontal (que independe de (x,y,z)) e a parte vertical (que depende só de z), e em seguida mostrar como as setas variam em planos horizontais distintos.

Passo 2

Observe a componente horizontal de \vec F:
\vec F_{\text{h}}=(1,2,0).
Ela é constante em todo o espaço. Em cada plano z=\text{constante}, a projeção no plano xy aponta na mesma direção e tem módulo
\|\vec F_{\text{h}}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.
O ângulo dessa projeção com o eixo x é \arctan(2).

Passo 3

Agora a componente vertical, que é F_z=z.
  • Em z=0, a componente k vale zero e o vetor é puramente horizontal (1,2,0).
  • Em z>0, a seta ganha um componente para cima de módulo igual a z. Quanto maior z, mais “inclinada para cima” a seta fica.
  • Em z<0, ganha um componente para baixo de módulo |z|.

Passo 4

Para esboçar, escolha três planos horizontais típicos:
Plano z=-1: em cada ponto a seta é (1,2,-1), inclinada para baixo.
Plano z=0: em cada ponto a seta é (1,2,0), perfeitamente no plano xy.
Plano z=1: em cada ponto a seta é (1,2,1), inclinada para cima.
Em todos eles a projeção no plano xy é a mesma, só muda a inclinação vertical conforme z.

Resposta

Em um desenho 3D, plote reticulado de pontos em três planos z=-1,0,1. Em cada plano, desenhe vetores de mesma base mas com direção dada por:
em z=-1 o vetor (1,2,-1),
em z=0 o vetor (1,2,0),
em z=1 o vetor (1,2,1).
Isso mostra claramente que a parte horizontal é fixa e o componente vertical varia linearmente com z.

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