Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: foi dada uma tripla de coordenadas cilíndricas
. O pedido é converter essa tripla para coordenadas esféricas.
Nota importante sobre convenção (escolha necessária): vou usar a convenção esférica padrão em muitos livros de cálculo/geometria, com a ordem das componentes
Nota importante sobre convenção (escolha necessária): vou usar a convenção esférica padrão em muitos livros de cálculo/geometria, com a ordem das componentes
onde:
-
é a distância do ponto à origem ( ); -
é o ângulo polar (ou colatitude), isto é, o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo ( ); -
é o mesmo ângulo azimutal da coordenada cilíndrica ( ).
Escolhi essa convenção porque é a mais usada em cálculo em que as coordenadas cilíndricas sãoe a relação com a esférica fica direta. Se outra ordem for exigida pelo seu professor, a conversão numérica será a mesma, só muda a posição dos componentes.
Passo 2
Fórmulas de conversão (explicadas devagarinha).
- Primeiro,
é a distância do ponto à origem; em termos de cilindricas isso é hipotenusa entre e :
Explicação: pense no plano que contém a projeção no eixo
(distância
) e no eixo
; a distância ao ponto é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos
e
.
- Segundo,
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo . Pela definição do cosseno:
Observação prática: também se usa
, mas essa forma dá problema quando
(divisão por zero). Por isso prefiro
, que funciona sempre (quando
).
- Terceiro,
é o mesmo ângulo azimutal da coordenada cilíndrica; então
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao dado
.
Calcule :
Calcule
Comentário: faz sentido físico — o ponto está no plano
a distância 2 da origem.
Passo 4
Calcule
usando
:
Interpretação geométrica:
significa que o vetor está no plano equatorial (plano
), ou seja, perpendicular ao eixo
, o que era esperado porque
.
Passo 5
Determine
. Como a coordenada azimutal não muda na conversão:
Verificação rápida:
indica direção no segundo quadrante do plano
, consistente com
e
.
Passo 6
Reunindo tudo na convenção escolhida
, a coordenada esférica correspondente é