Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas.
((2,3 \pi / 4,0))

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: foi dada uma tripla de coordenadas cilíndricas \,(r,\theta,z)=(2,\tfrac{3\pi}{4},0)\,. O pedido é converter essa tripla para coordenadas esféricas.
Nota importante sobre convenção (escolha necessária): vou usar a convenção esférica padrão em muitos livros de cálculo/geometria, com a ordem das componentes
(\rho,\varphi,\theta),
onde:
  • \rho é a distância do ponto à origem ( \rho\ge 0);
  • \varphi é o ângulo polar (ou colatitude), isto é, o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo z ( 0\le\varphi\le\pi);
  • \theta é o mesmo ângulo azimutal da coordenada cilíndrica ( 0\le\theta<2\pi).
    Escolhi essa convenção porque é a mais usada em cálculo em que as coordenadas cilíndricas são (r,\theta,z) e a relação com a esférica fica direta. Se outra ordem for exigida pelo seu professor, a conversão numérica será a mesma, só muda a posição dos componentes.

Passo 2

Fórmulas de conversão (explicadas devagarinha).
  • Primeiro, \rho é a distância do ponto à origem; em termos de cilindricas \,(r,\theta,z)\, isso é hipotenusa entre r e z:
\rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}.
Explicação: pense no plano que contém a projeção no eixo xy (distância r) e no eixo z; a distância ao ponto é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos r e z.
  • Segundo, \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z. Pela definição do cosseno:
\cos\varphi=\frac{z}{\rho}\quad\Longrightarrow\quad \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{\rho}\right).
Observação prática: também se usa \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{r}{z}\right), mas essa forma dá problema quando z=0 (divisão por zero). Por isso prefiro \varphi=\operatorname{arccos}(z/\rho), que funciona sempre (quando \rho>0).
  • Terceiro, \theta é o mesmo ângulo azimutal da coordenada cilíndrica; então
\theta_{\text{esférica}}=\theta_{\text{cilíndrica}}.éí

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao dado \,(r,\theta,z)=(2,\tfrac{3\pi}{4},0).
Calcule \rho:
\rho=\sqrt{r^{2}+z^{2}}=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2.
Comentário: faz sentido físico — o ponto está no plano z=0 a distância 2 da origem.

Passo 4

Calcule \varphi usando \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{z}{\rho}\right):
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{0}{2}\right)=\operatorname{arccos}(0)=\frac{\pi}{2}.
Interpretação geométrica: \varphi=\tfrac{\pi}{2} significa que o vetor está no plano equatorial (plano xy), ou seja, perpendicular ao eixo z, o que era esperado porque z=0.

Passo 5

Determine \theta. Como a coordenada azimutal não muda na conversão:
\theta=\frac{3\pi}{4}.
Verificação rápida: \theta=\tfrac{3\pi}{4} indica direção no segundo quadrante do plano xy, consistente com r>0 e z=0.

Passo 6

Reunindo tudo na convenção escolhida (\rho,\varphi,\theta), a coordenada esférica correspondente é
\left(2,\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4}\right).

Resposta

\left(2,\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4}\right)

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