\{x \in \mathbb{R}; \frac{x^2+9}{x+3} = 0\}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a igualdade
\frac{x^{2}+9}{x+3}=0.
Informações dadas e condições explícitas:
  • A expressão é uma fração com numerador x^{2}+9 e denominador x+3.
  • Devemos considerar somente x reais.
  • Há a condição implícita de que o denominador não pode ser zero, ou seja x\neq -3.

Passo 2

Princípio-chave que usamos (explique comigo): uma fração \dfrac{A}{B} (com A,B números reais) é igual a zero se, e somente se, o numerador é zero e o denominador é diferente de zero. Vou justificar rapidinho:
  • Se \dfrac{A}{B}=0 e B\neq 0, multiplicando ambos os lados por B obtemos A=0.
  • Se A=0 e B\neq 0, claramente \dfrac{A}{B}=0.
    Portanto, para resolver \dfrac{x^{2}+9}{x+3}=0 precisamos procurar x tais que
x^{2}+9=0
e simultaneamente x\neq -3.

Passo 3

Vamos resolver a equação do numerador x^{2}+9=0. Subtraindo 9 em ambos os lados obtemos
x^{2}=-9.
Agora, pedimos a raíz quadrada de -9. Entre os números reais não existe raiz quadrada de um número negativo. Matemáticamente:
x=\pm\sqrt{-9}=\pm 3i,
ou seja, as soluções de x^{2}+9=0 são números complexos \pm 3i, que não são reais.

Passo 4

Como o único jeito de a fração ser zero é ter o numerador igual a zero com denominador diferente de zero, e já vimos que o numerador não tem raízes reais, concluímos que não existe nenhum x\in\mathbb{R} que satisfaça a equação. A condição adicional x\neq -3 não cria soluções; apenas exclui um ponto do domínio.

Resposta

\varnothing

Exercícios relacionados