\{x \in \mathbb{R}; \frac{x-2}{x^2+4} = 0\}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o conjunto de todos os números reais x que satisfazem
\frac{x-2}{x^2+4}=0.
Informações fornecidas pelo enunciado: a expressão é uma fração com numerador x-2 e denominador x^2+4. O conjunto pedido está restrito a x\in\mathbb{R}. Não há outras condições explícitas no enunciado.

Passo 2

Regra básica sobre frações e o número zero (aqui eu te explico devagarinho): uma fração \dfrac{A}{B} é igual a zero se, e somente se, o numerador A for zero e o denominador B for diferente de zero. Vou provar isso em duas partes:
  • Se \dfrac{A}{B}=0 e B\neq0, então multiplicando ambos os lados por B obtemos A=0.
  • Se A=0 e B\neq0, então \dfrac{A}{B}=\dfrac{0}{B}=0.
    Importante: se B=0 a fração não é um número bem definido (pode ser indefinida ou indeterminada), então devemos garantir B\neq0. Esse é o critério que vamos aplicar ao nosso caso com A=x-2 e B=x^2+4.

Passo 3

Aplicando a regra: para que
\frac{x-2}{x^2+4}=0
devemos ter o numerador zero, isto é
x-2=0.
Agora resolvemos essa equação simples. Somando 2 em ambos os lados:
x=2.

Passo 4

Agora precisamos checar a condição do denominador: ele não pode ser zero no valor encontrado. Calcule o denominador em x=2:
x^2+4\big|_{x=2}=2^2+4=4+4=8.
Como 8\neq0, o denominador é diferente de zero no candidato x=2, então x=2 é uma solução válida.

Passo 5

Além disso, um fato útil (que ajuda a tirar dúvidas rapidamente na prova): para todo x\in\mathbb{R} vale x^2\ge 0, logo
x^2+4\ge 0+4=4>0.
Isto mostra que o denominador nunca é zero para nenhum x\in\mathbb{R} — ele é sempre positivo. Portanto, não há risco de obter divisão por zero em nenhuma solução. No nosso caso o numerador x-2 é uma função linear com uma única raiz, então a única solução possível é x=2.

Passo 6

Resumo e dica amiga para a prova: sempre que vir uma fração igual a zero, primeiro force o numerador a zero e depois verifique se o denominador nesse(s) valor(es) não é zero. Evite o erro comum de esquecer a verificação do denominador (ou de confundir 0/0 com 0).

Resposta

\{2\}

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