\{x \in \mathbb{R}; x^3 - 8 = 0\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números reais x que satisfazem a equação
x^3 - 8 = 0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e está restrita a números reais ( x\in\mathbb{R}).
  • A equação é um polinômio de grau 3 igual a zero.
    Pergunta explícita: quais são os valores de x\in\mathbb{R} que tornam verdadeira a equação acima?

Passo 2

Primeira ideia direta (isolar e aplicar raiz cúbica): mover o 8 para o outro lado:
x^3 = 8.
Agora aplicamos a operação inversa da elevação ao cubo: a raiz cúbica. Para números reais, a função f(x)=x^3 é estritamente crescente, ou seja, cada valor à direita corresponde a um único x real. Portanto tomamos a raiz cúbica de ambos os lados:
x=\sqrt[3]{8}.
Lembrando que \sqrt[3]{8}=2 (porque 2^3=8), obtemos x=2. Esta é uma solução real; depois vamos confirmar que não há outras reais.

Passo 3

Método alternativo (fatoração): usar a fórmula da diferença de cubos para entender todas as raízes (útil na prova). A fórmula é
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
Aqui a=x e b=2, então
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).
Se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim as possíveis raízes são as soluções de
x-2=0\quad\text{ou}\quad x^2+2x+4=0.

Passo 4

Resolver os fatores:
  • Do primeiro fator temos imediatamente x-2=0\Rightarrow x=2.
  • Para o segundo, é uma equação quadrática com a=1, b=2, c=4. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot4=4-16=-12.
Como \Delta<0, essa quadrática não tem raízes reais (tem duas raízes complexas conjugadas). Portanto ela não produz soluções em \mathbb{R}.

Passo 5

Conclusão: entre todas as raízes do polinômio, apenas x=2 pertence a \mathbb{R}. Assim o conjunto pedido contém somente esse número. Vai bem — essa questão costuma aparecer em provas para checar se você lembra da raiz cúbica e da fatoração diferença de cubos!

Resposta

\,2\,

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