Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números reais
que satisfazem a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
e está restrita a números reais ( ). - A equação é um polinômio de grau 3 igual a zero.
Pergunta explícita: quais são os valores deque tornam verdadeira a equação acima?
Passo 2
Primeira ideia direta (isolar e aplicar raiz cúbica): mover o
para o outro lado:
Agora aplicamos a operação inversa da elevação ao cubo: a raiz cúbica. Para números reais, a função
é estritamente crescente, ou seja, cada valor à direita corresponde a um único
real. Portanto tomamos a raiz cúbica de ambos os lados:
Lembrando que
(porque
), obtemos
. Esta é uma solução real; depois vamos confirmar que não há outras reais.
Passo 3
Método alternativo (fatoração): usar a fórmula da diferença de cubos para entender todas as raízes (útil na prova). A fórmula é
Aqui
e
, então
Se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim as possíveis raízes são as soluções de
Passo 4
Resolver os fatores:
- Do primeiro fator temos imediatamente
. - Para o segundo, é uma equação quadrática com
, , . Calculamos o discriminante:
Como
, essa quadrática não tem raízes reais (tem duas raízes complexas conjugadas). Portanto ela não produz soluções em
.
Passo 5
Conclusão: entre todas as raízes do polinômio, apenas
pertence a
. Assim o conjunto pedido contém somente esse número. Vai bem — essa questão costuma aparecer em provas para checar se você lembra da raiz cúbica e da fatoração diferença de cubos!