\{x \in \mathbb{R}; x^3 + 8 = 0\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números reais x que satisfazem a equação dada. Informações fornecidas:
  • Domínio: x \in \mathbb{R}.
  • Equação a resolver: x^3 + 8 = 0.
    Não vou resolver ainda, apenas deixei claro o que é pedido e os dados.

Passo 2

Primeira manipulação simples: isolo x^3. Subtraindo 8 dos dois lados da equação,
x^3 = -8.
Isto significa que x é uma raiz cúbica de -8. Vamos lembrar o conceito de raiz cúbica: a raiz cúbica de um número a é o número r tal que r^3=a. Como a potência t\mapsto t^3 é função ímpar e estritamente crescente em \mathbb{R}, para qualquer número real a existe exatamente uma raiz cúbica real.

Passo 3

Aplicando a definição de raiz cúbica ao nosso caso, temos
x = \sqrt[3]{-8}.
Um exemplo concreto para fixar a ideia: (-2)^3 = -8, logo \sqrt[3]{-8} = -2. Portanto já encontramos um candidato:
x = -2.
Vamos verificar substituindo na equação original: (-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0. Confere.

Passo 4

Para ter certeza de que não existe nenhum outro número real que satisfaça a equação, uso a fatoração da soma de cubos. Note que 8 = 2^3, então
x^3 + 8 = x^3 + 2^3.
A identidade algébrica para soma de cubos é
a^3 + b^3 = (a+b)\bigl(a^2 - ab + b^2\bigr).
Aplicando com a=x e b=2, obtemos a fatoração
x^3 + 2^3 = (x+2)\bigl(x^2 - 2x + 4\bigr).
Podemos conferir expandindo: (x+2)(x^2 - 2x +4) = x^3 -2x^2 +4x +2x^2 -4x +8 = x^3 +8.

Passo 5

A equação x^3+8=0 então é equivalente a
(x+2)\bigl(x^2 - 2x + 4\bigr)=0.
Pelo produto nulo, ou x+2=0 ou x^2 - 2x +4=0.
  • Da primeira opção vem x=-2.
  • Da segunda opção, analiso o discriminante da quadrática x^2 -2x +4. O discriminante é
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12.
Como \Delta < 0, a equação quadrática não tem raízes reais (apenas complexas). Logo não aparece nenhuma outra solução real.

Passo 6

Concluo que a única solução real da equação x^3+8=0 é x=-2. (Se fosse pedir soluções complexas, poderíamos obter as outras duas raízes usando as raízes cúbicas de -8 envolvendo números complexos, mas como o domínio é \mathbb{R} isso não nos interessa aqui.)

Resposta

\{-2\}

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