Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números reais
que satisfazem a equação dada. Informações fornecidas:
- Domínio:
. - Equação a resolver:
.
Não vou resolver ainda, apenas deixei claro o que é pedido e os dados.
Passo 2
Primeira manipulação simples: isolo
. Subtraindo
dos dois lados da equação,
Isto significa que
é uma raiz cúbica de
. Vamos lembrar o conceito de raiz cúbica: a raiz cúbica de um número
é o número
tal que
. Como a potência
é função ímpar e estritamente crescente em
, para qualquer número real
existe exatamente uma raiz cúbica real.
Passo 3
Aplicando a definição de raiz cúbica ao nosso caso, temos
Um exemplo concreto para fixar a ideia:
, logo
. Portanto já encontramos um candidato:
Vamos verificar substituindo na equação original:
. Confere.
Passo 4
Para ter certeza de que não existe nenhum outro número real que satisfaça a equação, uso a fatoração da soma de cubos. Note que
, então
A identidade algébrica para soma de cubos é
Aplicando com
e
, obtemos a fatoração
Podemos conferir expandindo:
.
Passo 5
A equação
então é equivalente a
Pelo produto nulo, ou
ou
.
- Da primeira opção vem
. - Da segunda opção, analiso o discriminante da quadrática
. O discriminante é
Como
, a equação quadrática não tem raízes reais (apenas complexas). Logo não aparece nenhuma outra solução real.
Passo 6
Concluo que a única solução real da equação
é
. (Se fosse pedir soluções complexas, poderíamos obter as outras duas raízes usando as raízes cúbicas de
envolvendo números complexos, mas como o domínio é
isso não nos interessa aqui.)