\{x \in \mathbb{R}; x^4 - 16 = 0\}

Passo 1

O enunciado pede todos os números reais x que satisfazem a equação
x^4 - 16 = 0.
Informações relevantes que temos: o domínio é \{x\in\mathbb{R}\} (ou seja, só aceitamos raízes reais) e a equação polinomial de quarto grau é dada por x^4 - 16 = 0. Não há outras condições.

Passo 2

Uma observação útil antes de começar a operar: 16 é uma potência inteira de 2, pois 16 = 2^4. Isso sugere que x^4 = 16 tem soluções relacionadas a \pm 2, mas vamos fazer isso de forma rigorosa e passo a passo.

Passo 3

Vou reescrever a equação isolando a potência:
x^4 = 16.
Isto é equivalente ao enunciado original. Agora vamos transformar essa equação de grau 4 em algo mais simples usando fatoração.

Passo 4

Usamos a identidade de diferença de quadrados: para quaisquer a e b,
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
Aqui podemos ver x^4 - 16 como (x^2)^2 - 4^2. Aplicando a identidade:
x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4).

Passo 5

Se um produto de fatores é zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Assim temos que resolver os dois casos:
x^2 - 4 = 0 \quad\text{ou}\quad x^2 + 4 = 0.

Passo 6

Resolver x^2 - 4 = 0. Isolando x^2 obtemos
x^2 = 4.
Agora tomamos a raiz quadrada em ambos os lados; lembre-se que ao resolver x^2 = a com a\ge 0 as soluções são x = \pm\sqrt{a}. Assim aqui:
x = \pm\sqrt{4} = \pm 2.
Portanto das duas soluções possíveis deste fator obtemos x = 2 e x = -2.

Passo 7

Resolver x^2 + 4 = 0. Isolando x^2 obtemos
x^2 = -4.
Mas para x real, x^2 não pode ser negativo. Logo não existem soluções reais para essa equação (as soluções seriam complexas x=\pm 2i, porém o enunciado exige x\in\mathbb{R}, então descartamos).

Passo 8

Juntando as soluções reais obtidas (das quais apenas x=\pm 2 são válidas), concluímos que o conjunto solução é \{-2,\,2\}.

Resposta

\{-2,\,2\}

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