Passo 1
O enunciado pede todos os números reais
que satisfazem a equação
Informações relevantes que temos: o domínio é
(ou seja, só aceitamos raízes reais) e a equação polinomial de quarto grau é dada por
. Não há outras condições.
Passo 2
Uma observação útil antes de começar a operar:
é uma potência inteira de
, pois
. Isso sugere que
tem soluções relacionadas a
, mas vamos fazer isso de forma rigorosa e passo a passo.
Passo 3
Vou reescrever a equação isolando a potência:
Isto é equivalente ao enunciado original. Agora vamos transformar essa equação de grau 4 em algo mais simples usando fatoração.
Passo 4
Usamos a identidade de diferença de quadrados: para quaisquer
e
,
Aqui podemos ver
como
. Aplicando a identidade:
Passo 5
Se um produto de fatores é zero, pelo princípio do produto nulo, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Assim temos que resolver os dois casos:
Passo 6
Resolver
. Isolando
obtemos
Agora tomamos a raiz quadrada em ambos os lados; lembre-se que ao resolver
com
as soluções são
. Assim aqui:
Portanto das duas soluções possíveis deste fator obtemos
e
.
Passo 7
Resolver
. Isolando
obtemos
Mas para
real,
não pode ser negativo. Logo não existem soluções reais para essa equação (as soluções seriam complexas
, porém o enunciado exige
, então descartamos).
Passo 8
Juntando as soluções reais obtidas (das quais apenas
são válidas), concluímos que o conjunto solução é
.