\{x \in \mathbb{R}; x^4 - 1 = 0\}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os números reais x que satisfazem a equação \;x^4-1=0.\n\nInformações dadas:
  • A variável pertence aos reais: x\in\mathbb{R}.
  • A equação a resolver é \;x^4-1=0.

Passo 2

Uma observação útil (sem resolver ainda): a expressão \;x^4-1 é uma diferença de quadrados quando vista como (x^2)^2-1^2. Vou explicar o que é diferença de quadrados, porque isso nos ajuda bastante.\n\nFórmula da diferença de quadrados: para quaisquer a e b,
a^2-b^2=(a-b)(a+b).
Aqui podemos tomar a=x^2 e b=1, pois \;x^4=(x^2)^2 e 1=1^2.

Passo 3

Aplicando a diferença de quadrados com a=x^2 e b=1, fatoramos:
x^4-1=(x^2-1)(x^2+1).
Expliquei passo a passo: troquei a por x^2 e b por 1 na fórmula do passo anterior.

Passo 4

O fator \;x^2-1 é novamente uma diferença de quadrados, porque x^2-1=(x)^2-(1)^2. Usando de novo a fórmula, obtemos:
x^2-1=(x-1)(x+1).
Portanto a fatoração completa é
x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1).
Isto é útil porque uma igualdade do tipo produto igual a zero acontece quando ao menos um dos fatores é zero.

Passo 5

Agora resolvemos cada fator igual a zero:
  1. (x-1)=0 implica \;x=1.\n
  2. (x+1)=0 implica \;x=-1.\n
  3. (x^2+1)=0 implica \;x^2=-1.
Vou explicar o que significa o terceiro caso: procurar x real tal que x^2=-1. Para todo x\in\mathbb{R} temos x^2\ge 0, ou seja, um quadrado real nunca é negativo. Portanto não existe x\in\mathbb{R} com x^2=-1. (Se aceitássemos números complexos, aí teríamos as raízes \pm i, mas o enunciado restringe a \mathbb{R}.)

Passo 6

Verificação rápida (substituição direta) para os candidatos reais:
  • Para x=1:
1^4-1=1-1=0.
  • Para x=-1:
(-1)^4-1=1-1=0.
Ambos satisfazem a equação, portanto são soluções reais válidas.

Passo 7

Conclusão lógica: os únicos zeros reais de \;x^4-1 são \;x=1 e \;x=-1. O fator \;x^2+1 não fornece raízes reais.

Resposta

\{-1,\,1\}

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