Para
no intervalo
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que para todo
em
vale . O conteúdo envolve funções trigonométricas inversas e a identidade pitagórica.
Passo 2
Definimos
. Por definição de arccos temos
com
. Na faixa
o seno é não negativo, e da identidade pitagórica
obtemos
Logo
Passo 3
Definimos . Por definição de arcsen temos
com
. Nesse intervalo o cosseno é não negativo, e da identidade pitagórica
seguimos que
Portanto
Passo 4
Somando os dois resultados concluímos:
Resposta
2 \sqrt{1-x^{2}}