Para x no intervalo [0,1], mostre que sen(arccos (x))+cos (arcsen(x))=2 raiz1-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para todo x em [0,1] vale . O conteúdo envolve funções trigonométricas inversas e a identidade pitagórica.

Passo 2

Definimos theta = arccos(x). Por definição de arccos temos cos(theta) = x com theta in [0,pi]. Na faixa [0,pi] o seno é não negativo, e da identidade pitagórica sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1 obtemos
sin(theta) = raiz1 - cos^2(theta) = raiz1 - x^2
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sin(arccos(x)) = raiz1 - x^2

Passo 3

Definimos . Por definição de arcsen temos phi = arcsen(x) com sin(phi) = x. Nesse intervalo o cosseno é não negativo, e da identidade pitagórica
phi in [-tfracpi2,tfracpi2]
seguimos que
cos^2(phi) + sin^2(phi) = 1
Portanto

Passo 4

Somando os dois resultados concluímos:

Resposta

2 \sqrt{1-x^{2}}

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