Se x é um número real tal que x+1x=3, então qual é o valor de x^2+1x^2 ?

Passo 1

Temos a equação x + 1x = 3. O conteúdo envolve manipulação de expressões algébricas usando identidades, e vamos precisar da identidade do quadrado da soma para conectar x + 1x com x^2 + 1x^2.

Passo 2

Aplicamos a identidade (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 com a = x e b = 1x. Assim,
(x + tfrac1x)^2 = x^2 + 2cdot x cdot tfrac1x + tfrac1x^2 = x^2 + 2 + tfrac1x^2,
o que nos dá x^2 + tfrac1x^2 = (x + tfrac1x)^2 - 2.

Passo 3

Substituímos x + tfrac1x = 3 na expressão e calculamos:
x^2 + tfrac1x^2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7

Resposta

7

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