(a) Mostre que
r=2 é um autovalor de multiplicidade 3 da matriz de coeficientes
A e que existe apenas um autovetor associado, a saber,
(b) Usando a informação do item (a), escreva uma solução
x^(1)(t) do sistema (1). Não existe outra solução da forma puramente exponencial
x=xi e^r t.
© Para encontrar uma segunda solução, suponha que
x=xi t e^2 t+eta e^2 t. Mostre que
xi e
eta satisfazem as equações
(A-2 I) xi=0, (A-2 I) eta=xi
Como
xi já foi encontrado no item (a), resolva a segunda equação para
eta. Despreze o múltiplo de
xi^(1) que aparece em
eta, já que nos leva, apenas, a um múltiplo da primeira solução
x^(1)(t). Depois, escreva uma segunda solução
x^(2)(t) do sistema (1).
(d) Para encontrar uma terceira solução, suponha que
x=xi(t^2 / 2) e^2 t+eta t e^2 t+zeta e^2 t. Mostre que
xi, eta e
zeta satisfazem as equações
(A-2 I) xi=0, (A-2 I) eta=xi, (A-2 I) zeta=eta
As duas primeiras equações são as mesmas do item ©, logo, para resolver a equação para
zeta despreze novamente o múltiplo de
xi^(1) que aparece. Depois, escreva uma terceira solução
x^(3)(t) do sistema (1).