Se X sim B(n, p), determine a função de probabilidade de Y=n-X.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que P(X = x) ;=; binomnx,p^x,(1-p)^,n-x, x=0,1,dots,n segue uma distribuição binomial e a gente quer achar a função de probabilidade de .
Conteúdo envolvido: distribuição binomial e técnica de mudança de variável em variáveis discretas.
O que vamos usar:
  • A fórmula da função de probabilidade de :
  • A relação para trocar a variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de probabilidade de P(Y = y) = P(n - X = y) é
Essa igualdade é a chave: queremos a probabilidade de ser exatamente o valor que faz .

Passo 3

Da equação P(Y = y) ;=; Pl(X = n - yr) , tiramos P(Y = y) = binomn,n - y,,p^,n - y,(1-p)^,n - (n - y) .
Logo
Como é binomial, a gente substitui na fórmula:
Repara que . E também . Então

Passo 4

Simplificando os binomiais e as potências, fica
P(Y = y) = binomny,p^,n - y,(1-p)^,y, y = 0,1,dots,n
Isso mostra que também é binomial, mas com parâmetro de sucesso trocado: no lugar de .

Resposta

P(Y = y) = binomny,p^,n - y,(1-p)^,y, y = 0,1,dots,n segue , ou seja

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