Suponha que uma caixa contenha 6 bolas vermelhas e 4 pretas. Seleciona-se uma amostra aleatória de tamanho n. Seja X o número de bolas vermelhas na amostra. Determine a função de probabilidade no seguinte caso:
amostragem sem reposição

Passo 1

Beleza, bora resumir: temos uma caixa com 6 bolas vermelhas e 4 pretas (total de 10). Tiramos uma amostra de tamanho sem repor as bolas. A variável aleatória conta quantas bolas vermelhas saíram na amostra.
Conteúdo da matéria: distribuição hipergeométrica (amostragem sem reposição) e combinatória (coeficientes binomiais).
O que vamos precisar: entender como contar casos possíveis usando combinações e depois montar a razão “casos favoráveis / casos totais”.

Passo 2

Teoria básica de combinatória:
Para escolher binomNr = N!r!,(N-r)!, objetos de um conjunto de sem ordem, usamos o coeficiente binomial
No nosso problema:
  • Total de maneiras de escolher bolas de 10 (6 vermelhas + 4 pretas) é
    .
  • Casos favoráveis (sair exatamente vermelhas): escolhemos das 6 vermelhas e das 4 pretas, logo
    .

Passo 3

Montando a probabilidade:
A probabilidade de P(X = k) = número de jeitos de ter (k) vermelhastotal de jeitos de tirar (n) bolas = binom6k,binom4n-kbinom10n é
ú

Passo 4

Precisamos dizer para quais valores de k = max(0,,n-4),,dots,,min(n,,6) isso faz sentido. Como não dá para tirar mais vermelhas do que existem nem mais do que , e nem negativo, vemos que
Ou seja, o mínimo de vermelhas é 0 (ou se quisermos pelo menos tirar todas pretas) e o máximo é 6 (não existem mais que 6 vermelhas) ou , se .

Resposta

boxedP(X = k) ;=; binom6k,binom4,n - k,binom10n para k = max(0,n-4),,ldots,,min(n,6)

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