Se X sim Pascal(r, p), sendo r inteiro e 0, determine a função de probabilidade de Y=X-r.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória X que segue a distribuição Pascal (ou seja, a distribuição de “número de tentativas até obter r sucessos”), com parâmetros inteiros r e probabilidade de sucesso p (0<p<1). A tarefa é achar a função de probabilidade de Y = X – r.
Conteúdo: distribuição Pascal (também chamada de negativa binomial no caso de contagem de falhas) e mudança de variável discreta.
O que precisamos:
  1. Saber a fórmula do PMF de X ~ Pascal(r,p).
  2. Substituir X = Y + r para achar o PMF de Y.

Passo 2

Primeiro, lembra da fórmula da distribuição Pascal:
Para X ~ Pascal(r,p), com r ∈ℕ e 0<p<1,
P(X = k) ;=; binomk-1r-1,p^r,(1-p)^,k-r, k = r, r+1, r+2,dots
Aqui a ideia é: a gente quer exatamente r sucessos, e o último sucesso acontece no ensaio k; antes disso, há k–r falhas em qualquer ordem.

Passo 3

Agora definimos Y = X – r. Isso quer dizer que Y conta quantas “tentativas extras” aconteceram depois de já ter acumulado r sucessos.
Como X varia de r, r+1, r+2, …, então Y varia de 0,1,2,…

Passo 4

Para achar P(Y = y), usamos a troca X = y + r:
P(Y = y) ;=; Pl(X = y + rr)
Substituindo na fórmula de X:
P(Y = y) = binom(y+r)-1r-1,p^r,(1-p)^,(y+r)-r = binomy+r-1r-1,p^r,(1-p)^,y
Isso vale para y = 0,1,2,…

Passo 5

Pra fechar, vale comentar que essa distribuição de Y é justamente a forma “número de falhas antes do r-ésimo sucesso”. É comum chamar isso de Negativa Binomial com contagem de falhas.

Resposta

P(Y = y) ;=; binomy + r - 1r - 1,p^r,(1-p)^y, y = 0,1,2,dots

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