Se
, sendo
inteiro e
, determine a função de probabilidade de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória X que segue a distribuição Pascal (ou seja, a distribuição de “número de tentativas até obter r sucessos”), com parâmetros inteiros r e probabilidade de sucesso p (0<p<1). A tarefa é achar a função de probabilidade de Y = X – r.
Conteúdo: distribuição Pascal (também chamada de negativa binomial no caso de contagem de falhas) e mudança de variável discreta.
O que precisamos:
Conteúdo: distribuição Pascal (também chamada de negativa binomial no caso de contagem de falhas) e mudança de variável discreta.
O que precisamos:
- Saber a fórmula do PMF de X ~ Pascal(r,p).
- Substituir X = Y + r para achar o PMF de Y.
Passo 2
Primeiro, lembra da fórmula da distribuição Pascal:
Para X ~ Pascal(r,p), com r ∈ℕ e 0<p<1,
Para X ~ Pascal(r,p), com r ∈ℕ e 0<p<1,
Aqui a ideia é: a gente quer exatamente r sucessos, e o último sucesso acontece no ensaio k; antes disso, há k–r falhas em qualquer ordem.
Passo 3
Agora definimos Y = X – r. Isso quer dizer que Y conta quantas “tentativas extras” aconteceram depois de já ter acumulado r sucessos.
Como X varia de r, r+1, r+2, …, então Y varia de 0,1,2,…
Como X varia de r, r+1, r+2, …, então Y varia de 0,1,2,…
Passo 4
Para achar P(Y = y), usamos a troca X = y + r:
Substituindo na fórmula de X:
Isso vale para y = 0,1,2,…
Passo 5
Pra fechar, vale comentar que essa distribuição de Y é justamente a forma “número de falhas antes do r-ésimo sucesso”. É comum chamar isso de Negativa Binomial com contagem de falhas.