Se
e
são variáveis aleatórias independentes. Então
Calcule
;
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a probabilidade de que duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, sejam menores que $ \frac{1}{2} $ e $ \frac{1}{3} $ respectivamente. O conteúdo que vamos usar aqui é probabilidade envolvendo variáveis aleatórias uniformes e independência entre elas.
Passo 2
Primeiro, como $ X $ e $ Y $ são distribuídas uniformemente no intervalo de 0 a 1, a probabilidade de $ X $ ser menor que $ \frac{1}{2} $ é simplesmente $ \frac{1}{2} $, já que a distribuição é contínua e uniforme.
Passo 3
De maneira semelhante, a probabilidade de $ Y $ ser menor que $ \frac{1}{3} $ também é direta, igual a $ \frac{1}{3} $.
Passo 4
Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a probabilidade conjunta de ambos os eventos acontecerem ao mesmo tempo é o produto das probabilidades individuais.
Passo 5
Agora, é só multiplicar os valores que encontramos:
Resposta
A probabilidade $ \mathbb{P}(X < \frac{1}{2} ; Y < \frac{1}{3}) $ é igual a $ \frac{1}{6} $.