Se X sim U(0,1) e Y sim U(0,1) são variáveis aleatórias independentes. Então
Calcule P(X<1 / 2 ; Y<1 / 3);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a probabilidade de que duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, sejam menores que $ \frac{1}{2} $ e $ \frac{1}{3} $ respectivamente. O conteúdo que vamos usar aqui é probabilidade envolvendo variáveis aleatórias uniformes e independência entre elas.

Passo 2

Primeiro, como $ X $ e $ Y $ são distribuídas uniformemente no intervalo de 0 a 1, a probabilidade de $ X $ ser menor que $ \frac{1}{2} $ é simplesmente $ \frac{1}{2} $, já que a distribuição é contínua e uniforme.
X

Passo 3

De maneira semelhante, a probabilidade de $ Y $ ser menor que $ \frac{1}{3} $ também é direta, igual a $ \frac{1}{3} $.
Y

Passo 4

Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a probabilidade conjunta de ambos os eventos acontecerem ao mesmo tempo é o produto das probabilidades individuais.
X

Passo 5

Agora, é só multiplicar os valores que encontramos:
P(X < 12 e Y < 13) = 12 times 13 = 16

Resposta

A probabilidade $ \mathbb{P}(X < \frac{1}{2} ; Y < \frac{1}{3}) $ é igual a $ \frac{1}{6} $.

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