Se X sim Geométrica (lambda), determine a função de probabilidade de Y=X-1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Geométrica com parâmetro $ \lambda $. Precisamos encontrar a função de probabilidade da variável $ Y = X - 1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como a distribuição Geométrica funciona e como manipular funções de probabilidade quando fazemos transformações nas variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição Geométrica. Essa distribuição modela o número de tentativas necessárias para obter o primeiro sucesso em uma sequência de experimentos independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade $ \lambda $ de ser bem-sucedida e $ 1 - \lambda $ de falhar.

Passo 3

A função de probabilidade da distribuição Geométrica é dada por:
P(X = k) = (1 - lambda)^k - 1 lambda, para k = 1, 2, 3, dots
Isso significa que a probabilidade de precisar de exatamente $ k $ tentativas para obter o primeiro sucesso é $ (1 - \lambda)^{k - 1} \lambda $.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a função de probabilidade de $ Y = X - 1 $. Vamos expressar isso de forma que possamos relacionar $ Y $ com $ X $:
Y = X - 1

Passo 5

Queremos determinar $ P(Y = y) $. Sabendo que $ X = Y + 1 $, temos:
P(Y = y)

Passo 6

Substituindo $ X = y + 1 $ na função de probabilidade da distribuição Geométrica:
X = y + 1

Passo 7

Portanto, a função de probabilidade da variável $ Y = X - 1 $ é:
Y = X - 1

Resposta

A função de probabilidade de $ Y = X - 1 $ é:
Y = X - 1

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