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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a probabilidade de uma variável aleatória $ X $, que segue uma distribuição normal com média 10 e variância 4, estar entre 8 e 10. Então, estamos trabalhando com distribuição normal e vamos precisar usar a padronização para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ X \sim N(10, 4) $. Aqui, $ 10 $ é a média ($ \mu $) e $ 4 $ é a variância ($ \sigma^2
\sigma $) é a raiz quadrada da variância, então:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ X $ estar entre 8 e 10, ou seja, $ P(8 < X < 10) $. Para isso, vamos usar a padronização, que transforma a variável $ X $ em uma variável padronizada $ Z $ com média 0 e desvio padrão 1.
A fórmula para padronizar é:
Passo 4
Vamos padronizar os valores 8 e 10 usando a fórmula acima.
Para $ X = 8 $:
Para $ X = 10 $:
Passo 5
Agora, queremos encontrar $ P(-1 < Z < 0) $. Isso significa a área sob a curva da distribuição normal padrão entre -1 e 0.
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, sabemos que:
Passo 6
Para encontrar $ P(-1 < Z < 0) $, subtraímos as duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de $ X $ estar entre 8 e 10 é aproximadamente 34,13%.