Um químico está interessado em determinar o tempo de reação em uma transformação química. Ele sabe que o tempo
(em minutos) necessário para completar a reação é uma variável aleatória com f.d.p.
onde a é uma constante. Determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que um químico quer descobrir quanto tempo leva para uma reação química acontecer completamente. Esse tempo, que chamamos de $ T $ (em minutos), é uma variável aleatória com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:
O que precisamos descobrir é o valor da constante $ a $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente sobre funções de densidade de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para qualquer função ser uma f.d.p., a área total sob a curva dessa função precisa ser igual a 1. Isso significa que a integral de $ f(t) $ de
a
deve ser igual a 1.
No nosso caso, como $ f(t) = 0 $ para $ t $ fora do intervalo $ (0, 1) $, a integral simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. Vamos integrar $ a(1 - t) $ em relação a $ t $ de 0 a 1.
A integral de $ (1 - t) $ é:
Avaliado de 0 a 1:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ a $:
Resposta
O valor da constante $ a $ é 2.