Um químico está interessado em determinar o tempo de reação em uma transformação química. Ele sabe que o tempo (em minutos) necessário para completar a reação é uma variável aleatória com f.d.p.
onde a é uma constante. Se o tempo de reação ultrapassar meio minuto, o produto obtido será de qualidade inferior. Qual a probabilidade de se obter um produto de qualidade inferior?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Um químico quer saber quanto tempo leva para uma reação química acontecer. Esse tempo, que a gente chama de , é uma variável aleatória com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) dada por:
Aqui, é uma constante que a gente precisa descobrir. Além disso, se a reação demorar mais de meio minuto ( minutos), o produto será de qualidade inferior. A pergunta é: qual a probabilidade de obtermos um produto de qualidade inferior? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da constante . Para isso, sabemos que a integral da função de densidade de probabilidade sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
No nosso caso, a função é diferente de zero apenas entre 0 e 1. Então, podemos simplificar a integral para:
Vamos calcular essa integral.
Passo 3
Vamos integrar de 0 a 1:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
a [ (1 - 0) - ( 1^22 - 0^22 ) ] = a [ 1 - 12 ] = a ( 12 )
Então:
a cdot 12 = 1 implies a = 2
Passo 4
Agora que sabemos que a = 2, a função de densidade de probabilidade fica:
f(t) = 2(1 - t), & se 0 < t < 1 0, & caso contrário á
Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo de reação seja maior que meio minuto, ou seja, P(T > 0,5). Isso significa calcular a integral de f(t) de 0,5 a 1.