Um químico está interessado em determinar o tempo de reação em uma transformação química. Ele sabe que o tempo T (em minutos) necessário para completar a reação é uma variável aleatória com f.d.p.
f(t)=l a(1-t), se 0á
onde a é uma constante. Se o tempo de reação ultrapassar meio minuto, o produto obtido será de qualidade inferior. Qual a probabilidade de se obter um produto de qualidade inferior?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Um químico quer saber quanto tempo leva para uma reação química acontecer. Esse tempo, que a gente chama de T, é uma variável aleatória com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) dada por:
f(t) = a(1 - t), & se 0 < t < 1 0, & caso contrário á
Aqui, a é uma constante que a gente precisa descobrir. Além disso, se a reação demorar mais de meio minuto ( T > 0,5 minutos), o produto será de qualidade inferior. A pergunta é: qual a probabilidade de obtermos um produto de qualidade inferior? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da constante a. Para isso, sabemos que a integral da função de densidade de probabilidade sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
integral-infty^+infty f(t) , dt = 1
No nosso caso, a função f(t) é diferente de zero apenas entre 0 e 1. Então, podemos simplificar a integral para:
integral0^1 a(1 - t) , dt = 1
Vamos calcular essa integral.

Passo 3

Vamos integrar a(1 - t) de 0 a 1:
integral0^1 a(1 - t) , dt = a integral0^1 (1 - t) , dt
Integrando termo a termo:
a [ integral0^1 1 , dt - integral0^1 t , dt ] = a [ t |0^1 - t^22 |0^1 ]
Calculando os valores:
a [ (1 - 0) - ( 1^22 - 0^22 ) ] = a [ 1 - 12 ] = a ( 12 )
Então:
a cdot 12 = 1 implies a = 2

Passo 4

Agora que sabemos que a = 2, a função de densidade de probabilidade fica:
f(t) = 2(1 - t), & se 0 < t < 1 0, & caso contrário á
Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo de reação seja maior que meio minuto, ou seja, P(T > 0,5). Isso significa calcular a integral de f(t) de 0,5 a 1.

Passo 5

Vamos calcular P(T > 0,5):
P(T > 0,5) = integral0,5^1 2(1 - t) , dt
Integrando:
2 integral0,5^1 (1 - t) , dt = 2 [ integral0,5^1 1 , dt - integral0,5^1 t , dt ]
Calculando as integrais:
2 [ (t) |0,5^1 - ( t^22 ) |0,5^1 ] = 2 [ (1 - 0,5) - ( 1^22 - 0,5^22 ) ]
Simplificando:
2 [ 0,5 - ( 12 - 0,252 ) ] = 2 [ 0,5 - ( 0,5 - 0,125 ) ] = 2 [ 0,5 - 0,375 ] = 2 times 0,125 = 0,25

Resposta

A probabilidade de obter um produto de qualidade inferior é de 25%.

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